2023-2024学年北师大版高中数学必修第二册 向量的数乘与向量共线的关系 课件

第二章 平面向量及其应用§3 从速度的倍数到向量的数乘 课时2 向量的数乘与向量共线的关系 学习目标 1.理解共线（平行）向量基本定理，并运用其解决相关问题.（数学抽象） 2.会利用共线（平行）向量基本定理判断三点共线及线线平行.（逻辑推理） 3.了解直线的向量表示.（数学抽象） 自主预习·悟新知合作探究·提素养随堂检测·精评价 1.非零向量 <m></m> 与向量 <m></m> 共线的充要条件是什么？ [答案] 存在唯一实数，使得 <m></m> . 2.能用向量刻画直线吗？能唯一确定吗？[答案] 能，能唯一确定. 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）若向量 <m></m> 与 <m></m> 共线，则存在唯一的实数 <m></m> 使 <m></m> .( ) ×（2）若 <m></m> ，则 <m></m> 与 <m></m> 共线.( ) √（3）若 <m></m> ，则 <m></m> .( ) ×（4） <m></m> .( ) × 2.（多选题）已知平面向量 <m></m> ， <m></m> 不共线， <m></m> ， <m></m> ，若 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 三点共线，则实数 <m></m> 的可能取值有( ). A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m>  BC[解析] 因为 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 三点共线，所以 <m></m> 和 <m></m> 共线， 所以存在实数 <m></m> ，使 <m></m> ， 即 <m></m> ， 所以 <m></m> 即 <m></m> ， 解得 <m></m> . 故选BC. 3.已知 <m></m> ，设 <m></m> ，则实数 <m></m> ___. 2[解析] <m></m> , <m></m> .  4.如图， <m></m> 是点 <m></m> 关于点 <m></m> 的对称点， <m></m> 是线段 <m></m> 靠近点 <m></m> 的三等分点，设 <m></m> ， <m></m> . （1）用向量 <m></m> 与 <m></m> 表示向量 <m></m> ， <m></m> ； [解析] <m></m> , <m></m> , <m></m> ， <m></m> . （2）若 <m></m> ，求证： <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 三点共线. [解析] <m></m> ， <m></m> ， <m></m> .又 <m></m> 与 <m></m> 有共同点 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 三点共线.  探究1 共线（平行）向量基本定理在某校的绿化带中，有一花坛是四边形 <m></m> ，若各边的向量关系是 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，如何判断出四边形 <m></m> 的形状？为了解决这一问题，我们先探究下列问题. 问题1：若 <m></m> ， <m></m> 与 <m></m> 共线吗？ [答案] 根据共线向量及向量数乘的意义可知， <m></m> 与 <m></m> 共线.  问题2：若 <m></m> 与非零向量 <m></m> 共线，是否存在实数 <m></m> 满足 <m></m> ？若 <m></m> 与向量 <m></m> 共线呢？ [答案] 若 <m></m> 与非零向量 <m></m> 共线，则存在实数 <m></m> 满足 <m></m> ；若 <m></m> 与向量 <m></m> 共线，则当 <m></m> ， <m></m> 时，不存在实数 <m></m> 满足 <m></m> . 问题3：若存在实数 <m></m> 使得向量 <m></m> ，则 <m></m> 与 <m></m> 有什么位置关系？ [答案] 平行或共线.问题4：根据上面的分析，如何解决情境中的问题？[答案] <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，由向量共线的定义知 <m></m> ，且 <m></m> ，∴四边形 <m></m> 为梯形.  新知生成 共线（平行）向量基本定理：给定一个非零向量 <m></m> ，则对任意向量 <m></m> ， <m></m> 的充要条件是存在唯一一个实数 <m></m> ，使得 <m></m> .  特别提醒：（1）定理中 <m></m> 不能漏掉.若 <m></m> ，则实数 <m></m> 可以是任意实数；若 <m></m> ， <m></m> ≠ <m></m> ，则不存在实数 <m></m> ，使得 <m></m> .  （2）这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数 <m></m> ， <m></m> ，使得 <m></m> ，则 <m></m> 与 <m></m> 共线；若两个非零向量 <m></m> 与 <m></m> 不共线，且 <m></m> ，则必有 <m></m> .  新知运用一、向量共线的判定例1 已知 <m></m> ， <m></m> 不共线，则下列各式中， <m></m> 与 <m></m> 不共线的是( ). A. <m></m> ， <m></m> B. <m></m> ， <m></m> C. <m></m> ， <m></m> D. <m></m> ， <m></m>  D 方法指导 根据共线的定义逐一判断. [解析] A中，∵ <m></m> ， <m></m> 与 <m></m> 共线；B中， <m></m> ，则 <m></m> 与 <m></m> 共线；C中， <m>，</m> 则 <m></m> 与 <m></m> 共线；D中，设 <m></m> ，则 <m></m> ， <m></m> ， ∴ <m></m> 这样的 <m></m> 不存在，因此 <m></m> 与 <m></m> 不共线.故选 <m></m>  &1& 判断两向量共线：把两向量用共同的已知向量表示出来，进而互相表示，从而判断共线. 二、由向量共线确定参数的值例2 已知向量 <m></m> ， <m></m> 不是共线向量， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> .  （1）判断 <m></m> ， <m></m> 是否平行；  （2）若 <m></m> ，求 <m></m> 的值. 方法指导 利用共线向量基本定理可解决两类向量问题：（1）判定向量平行（先假设平行，用基本定理列方程，根据 <m></m> ，其中 <m></m> ， <m></m> 不共线，列实数方程组，求解）；（2）已知向量求参数.  [解析] （1）显然 <