新课程标准解读核心素养能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数数学运算
目录CONTENTS01读教材·知识梳理0302研题型·典例精析扣课标·素养提升
2．两个函数可导，它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导吗？提示：两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导．3．若两个函数不可导，它们的和、差、积、商不可导吗？提示：若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．
B2．函数y＝x cos x－sin x的导数为___________．解析：y′＝(x cos x－sin x)′＝(x cos x)′－(sin x)′＝cos x－x sin x－cos x＝－x sin x.－x sin x
题型二 与切线有关的综合问题【例2】 (链接教科书例2)已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.求直线l2的方程．解 ∵y′＝2x＋1，∴直线l1在点(1，0)处的斜率为2×1＋1＝3，由直线的点斜式方程可得直线l1的方程为y＝3x－3.设直线l2与曲线y＝x2＋x－2切于点B(b，b2＋b－2)，则曲线在点B处的切线的斜率为2b＋1.
|通性通法|导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．解决此类问题的方法为先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．
2．已知函数f(x)＝ax2＋ln x的导数为f′(x).(1)求f(1)＋f′(1)；解：由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝ax2＋ln x，
题型三 利用函数的导数求参数【例3】 (1)(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线y＝f(x)＝aex＋x ln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则 ( )A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1D
(2)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象过点(1，5)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式为____________________．
|通性通法|利用导数求参数的常见题型利用导数求参数，常涉及(1)已知曲线的切线(导数的几何意义)求参问题；(2)已知导函数的图象求原函数问题(或某点处的函数值)，这些都要根据导数的几何意义或某点处的导数值列方程(组)求解参数．特别地由于三次函数的导数是二次函数，因此将导数的计算与二次函数的图象和性质结合起来就很容易理解了．解题时应考虑二次函数的单调性、最值、图象的对称轴、二次项系数等对图象的影响．
B
3．(多选)已知函数f(x)＝x2＋f(0)·x－f′(0)·cos x＋2，其导函数为f′(x)，则 ( )A．f(0)＝－1 B．f′(0)＝1C．f(0)＝1 D．f′(0)＝－1解析：因为f(x)＝x2＋f(0)·x－f′(0)·cos x＋2，所以f(0)＝2－f′(0)，因为f′(x)＝2x＋f(0)＋f′(0)·sin x，所以f′(0)＝f(0).故f′(0)＝f(0)＝1.故选B、C.BC
C
2．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于 ( )A．－1 B．－2C．2 D．0解析：∵f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.B
3．(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为 ( )A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1解析：法一：∵f(x)＝x4－2x3，∴f′(x)＝4x3－6x2，∴f′(1)＝－2，又f(1)＝1－2＝－1，∴所求的切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B.法二：∵f(x)＝x4－2x3，∴f′(x)＝4x3－6x2，f′(1)＝－2，∴切线的斜率为－2，排除C、D.又f(1)＝1－2＝－1，∴切线过点(1，－1)，排除A.故选B.B
D
A
6．已知曲线f(x)＝(x＋a)ex在x＝1和x＝－1处的切线相互垂直，则a＝ ( )A．－1 B．0C．1 D．2A
7．已知函数y＝f(x)的图象是经过原点的曲线(非直线)，且在原点处的切线方程为y＝x，请写出一个符合条件函数y＝f(x)的解析式为_____________________．解析：由题意可知：f(0)＝0，f′(0)＝1，取f(x)＝ex－1，此时f(0)＝e0－1＝0，f′(x)＝ex，f′(0)＝1，故符合．
1
1
BCD
BC
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2023-2024学年人教B版高中数学选择性必修第三册 6.1.4 第一课时 函数和、差、积、商的求导法则 课件
