6.3.1 平面向量基本定理
课程标准了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量．
新知初探·课前预习题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
教材要点要点 平面向量基本定理❶(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，_______一对实数λ1，λ2，使a＝________．(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内________的一个基底． 助学批注批注❶ (1)，是同一平面内的两个不共线的向量，，的选取不唯一，即一个平面可以有多个基底．(2)平面内的任一向量a→都可以沿基底进行分解．(3)基底，确定后，实数λ1、λ2是唯一确定的． 不共线有且只有λ1e1＋λ2e2所有向量
夯 实 双 基1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底．( )(2)平面向量的基底确定后，平面内的任何一个向量都能用这个基底唯一表示．( )(3)若{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基底，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内．( )(4)基底向量可以是零向量．( )×√××
2．(多选)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组是这个平行四边形所在平面的一个基底的是( )A．与B．与C．与D．与 答案：AC解析：A中：与不共线；B中：＝－，则与共线；C中：与不共线；D中：＝－，则与共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一个基底，故AC满足题意．
3．已知AD是△ABC的中线，＝a，＝b，以a，b为基底表示，则＝( )A．(a－b) B．2b－aC．(b－a) D．2b＋a 答案：B解析：如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而＝)，则＝2＝2b－a.
4．在正方形ABCD中，E是DC边上的中点，且＝a，＝b，则＝________． b－a 解析：＝＝＝b－a.
题型探究·课堂解透
题型 1 平面向量基本定理的理解例1 (多选)[2022·广东韶关实验中学高一期中]已知向量a、b不共线，则下列各组向量中，能作平面向量的一个基底的有( )A． B．C． D． 答案：ACD
解析：因为向量a、b不共线，对于A选项，设a＋b、2a＋b共线，可设2a＋b＝λ(a＋b)，可得出，无解，所以，a＋b、2a＋b不共线，A中的向量能作基底，同理可知CD选项中的向量也可作平面向量的基底，对于B选项，因为2a－b＝－(－2a＋b)，所以(2a－b)∥(－2a＋b)，所以不能作平面向量的基底．故选ACD.
题后师说1．两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．2．一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．
巩固训练1 如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，其中可作为基底的一组向量是( )A．B．C．D． 答案：B解析：由基底的概念可知，作为基底的一组向量不能共线．由题图可知，与共线，与共线，与共线，均不能作为基底向量，与不共线，可作为基底向量．
题型2 用基底表示向量例2 如图，点E、D分别是△ABC中AC(靠近C)、BC(靠近B)边上的三等分点，已知＝a，＝b，求：(1)用a与b表示；(2)用a与b表示.
解析：(1)∵E、D分别为AC、BC边上的三等分点，∴＝＝，又∵＝a，＝b, ∴＝a＋b；(2)∵E、D分别为AC、BC边上的三等分点，∴＝＝，∴＝＝＝)－＝，又∵＝a，＝b，∴＝a－b.
题后师说用基底表示向量的两种基本方法
巩固训练2 (1)[2022·重庆市实验中学高一期末]在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足2＝，以为基底，则＝( )A．b＋c B．c－bC．b－cD．b＋c 答案：D解析：因为2＝＝c，＝b，所以＝＝)＝b－c，所以＝＝c＋b－c＝b＋c，故选D.
(2)[2022·福建三明高一期末]如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF＝2FE.记＝a，＝b，则＝( )A．a－bB．－a＋bC．－a－b D．a－b 答案：D解析：＝＝－＝－)＝－)＝－＝a－b，故选D.
题型 3 利用平面向量基本定理求参数例3 [2022·山东枣庄高一期中]已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点(不包括边界)，设＝a，＝b.(1)试用a，b表示；(2)若＝λa＋μb，求λ＋μ的取值范围．
解析：(1)延长AG，交BC于点D，则D为BC的中点，＝＝)＝)＝)]＝)＝a＋b.
(2)＝＝a－(a＋b)＝a－b，连接GP并延长，交BC于点P′，又＝＝a＋b＋t＝a＋b＋t()＝a＋b＋t(＋m)＝a＋b＋t(a－b)＋tm(b－a)＝(t－tm)a＋(t＋tm)b(其中0<t<1，0<m<1)．因为＝λa＋μb，所以λ＝t－tm，μ＝t＋tm，故λ＋μ＝t，因为0<t<1，所以λ＋μ＝t∈(，1)．
题后师说1．利用平面向量基本定理求参数值的基本思路是利用定理的唯一性，对某一向量用基底表示两次然后利用系数相等列方程(组)求解，即对于基底{e1，e2}，若a＝xe1＋ye2，且a＝me1＋ne2(x，y，m，n∈R)，则有2．充分利用平面几何知识对图中的有关点进行精确定位，往往可使问题更便于解决．
巩固训练3 (1)[2022·广东揭阳高一期末]已知在△ABC中，点M为AC上的点，且＝，若＝
2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 6.3.1 平面向量基本定理 课件
