2023-2024学年人教A版高中数学必修二 8.6空间直线、平面的垂直 练习

8.6 空间直线、平面的垂直 练习 一、单选题 1 ．已知菱形 的边长为 2 ， . 将菱形沿对角线 AC 折叠成大小为 60° 的二面角 . 设 E 为 的中点， F 为三棱锥 表面上动点，且总满足 ，则点 F 轨迹的长度为（        ） A ． B ． C ． D ． 2 ．已知 中， ，在线段 上取一点 ，连接 ，如图 ① 所示．将 沿直线 折起，使得点 到达 的位置，此时 内部存在一点 ，使得 平面 ，如图 ② 所示，则 的值可能为（      ） A ． B ． C ． D ． 1 3 ．已知直线 平面 ，直线 平面 ，有下面四个命题，其中正确的命题是（      ） A ． B ． C ． D ． 4 ．正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为 2 的正八面体中，则有（      ）    A ．直线 与 是异面直线 B ．平面 平面 C ．该几何体的体积为 D ．平面 与平面 间的距离为 5 ．小明将 与等边 摆成如图所示的四面体，其中 ， ，若 平面 ，则四面体 外接球的表面积为（      ） A ． B ． C ． D ． 6 ．在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图 1 的方式进行拼接，然后他又将三角板 折起，使得二面角 为直二面角，得图 2 所示四面体 ．小明对四面体 中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断： ① 平面 ； ② 平面 ； ③ 平面 平面 ； ④ 平面 平面 ．其中判断正确的个数是（      ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 7 ．如图，在直三棱柱 中， 分别为线段 的中点， ，平面 平面 ，则四面体 的外接球的体积为（      ） A ． B ． C ． D ． 8 ．已知直线 、 m 、 n 与平面 、 ，下列命题正确的是（     ） A ．若 ， ，则 B ．若 ， ，则 C ．若 ， ，则 D ．若 ， ， ，则 二、多选题 9 ．已知正方体 ，点 满足 ，下列说法正确的是（      ）    A ．存在无穷多个点 ，使得过 的平面与正方体的截面是菱形 B ．存在唯一一点 ，使得 平面 C ．存在无穷多个点 ，使得 D ．存在唯一一点 ，使得 平面 10 ．在边长为 2 的菱形 中， ，将菱形 沿对角线 折成四面体 ，使得 分别为棱 的中点，则（      ） A ．平面 平面 B ．直线 与 所成角的余弦值为 C ．四面体 的体积为 D ．四面体 外接球的表面积为 11 ．如图，在三棱锥 中， 平面 ， ，且 ， ，过点 的平面 分别与棱 ， 交于点 M ， N ，则下列说法正确的是（      ） A ．三棱锥 外接球的表面积为 B ．若 平面 ，则 C ．若 M ， N 分别为 ， 的中点，则点 到平面 的距离为 D ． 周长的最小值为 3 三、填空题 12 ．如图，在四棱柱 中，底面 ABCD 为正方形， ， ， ，且二面角 的正切值为 ．若点 P 在底面 ABCD 上运动，点 Q 在四棱柱 内运动， ，则 的最小值为 ．    13 ．点 是线段 的中点，若 到平面 的距离分别为 和 ，且 在平面 的异侧，则点 到平面 的距离为 ． 14 ．已知正方体 ，点 为线段 上的点，则满足 平面 的点 的个数为 . 四、解答题 15 ．如图，在矩形 中， ， ， E 为 的中点，把 和 分别沿 AE ， DE 折起，使点 B 与点 C 重合于点 P ． (1) 求证：平面 ⊥ 平面 ； (2) 求二面角 的大小． 16 ．如图，四边形 是正方形， 平面 ， ， 分别为 的中点，且 ．求证：平面 平面 ．    17 ．四边形 是正方形， 平面 ，且 ．求：    (1) 二面角 的平面角的度数； (2) 二面角 的平面角的度数； (3) 二面角 的平面角的度数． 18 ．如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ， ， 分别是 ， 的中点．求证：    (1) 平面 ； (2) ． 19 ．如图，已知 是棱长为 的正方体， E ， F 分别是 ， 的中点． (1) 哪些棱所在的直线与直线 垂直？ (2) 求异面直线 与 所成的角． 20 ．如图，已知正方形 的边长为 1 ， 平面 ，三角形 是等边三角形． (1) 求异面直线 与 所成的角的大小； (2) 在线段 上是否存在一点 ，使得 与平面 所成的角大小为 ？若存在，求出 的长度，若不存在，说明理由 . 参考答案： 1 ． A 【分析】作出辅助线，证明出线面垂直，面面平行，得到点 F 轨迹为 （除 外），并得到 为二面角 的平面角，则 ，结合菱形性质求出 的三边长，得到轨迹长度 . 【详解】取 的中点 ，连接 ， 因为菱形 的边长为 2 ， ， 所以 ， 均为等边三角形， 故 ⊥ ， ⊥ ，且 ， 为二面角 的平面角，则 ， 故 为等边三角形， ， 又 ， 平面 ， 所以 ⊥ 平面 ， 又 E 为 的中点，取 的中点 ， 的中点 ， 连接 ，则 ，且 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 同理得 平面 ， 因为 ， 平面 ， 故平面 平面 ， 所以 ⊥ 平面 ， 故点 F 轨迹为 （除 外）， 故点 F 轨迹的长度为 .    故选： A 2 ． B 【分析】寻找点 的临界状态，再利用余弦定理、勾股定理计算，最后判断 的取值范围 . 【详解】连接 ．因为 平面 平面 ，所以 ， ．在 Rt 中， ， 所以 ． 所以在 Rt 中， ． 因为在 中， ，所以 是直角三角形， 且 ． 因为 ，所以点 在以点 为圆心， 为半径的圆 上． 作 于点 ，因为点 到直线 的距离 ，且 ， 所以圆 与线段 交于两点，记为 和 ，记圆 与线段 的交点为 ，如图所示． 在 中，由余弦定理得