2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 8.4.1　平面（学案）

8.4 　空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.1 　平面 新课程标准解读 核心素养 1. 借助日常生活中的实物，在直观认识空间点、直线、平面的基础上，抽象出空间点、直线、平面的概念 数学抽象、直观想象 2. 了解基本事实和确定平面的推论 逻辑推理 　　 在生活中，用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定，将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光就能检查桌面是否平整 . 问题 　你知道如此做的原理吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   知识点一 　 平面的画法与表示 1 . 平面的画法 画法 我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面 当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向 当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向 图示 2 . 平面的表示方法 （ 1 ）用希腊字母表示，如平面 α 、平面 β 、平面 γ 等； （ 2 ）用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面 ABCD ； （ 3 ）用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面 AC ，平面 BD . 提醒 　 （ 1 ）平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量；（ 2 ）平面无厚薄、无大小，类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延展的，一个平面可以将空间分成两部分 . 知识点二　点、直线、平面之间的基本关系的符号表示 文字语言 符号语言 点 A 在直线 l 上 　 A ∈ l 　 点 A 在直线 l 外 　 A ∉ l 　 点 A 在平面 α 内 　 A ∈ α 　 点 A 在平面 α 外 　 A ∉ α 　 直线 l 在平面 α 内 　 l ⊂ α 　 直线 l 在平面 α 外 　 l ⊄ α 　 平面 α ， β 相交于 l 　 α ∩ β ＝ l 　 提醒 　 （ 1 ）直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用 “∈” 或 “ ∉ ” 表示；（ 2 ）平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用 “∈” 或 “ ∉ ” 表示；（ 3 ）直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用 “ ⊂ ” 或 “ ⊄ ” 表示 . 知识点三　平面的基本事实及推论 1 . 与平面有关的三个基本事实 基本 事实 内容 图形 符号 基本 事实 1 过 　不在一条直线上　 的三个点，有且只有一个平面 A ， B ， C 三点不共线 ⇒ 存在唯一的 α 使 A ， B ， C ∈ α 基本 事实 内容 图形 符号 基本 事实 2 如果一条直线上的 　两个点　 在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A ∈ l ， B ∈ l ，且 A ∈ α ， B ∈ α ⇒ l ⊂ α 基本 事实 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条 　过该点的公共直线　 　 P ∈ α 　 ，且 　 P ∈ β 　 ⇒ α ∩ β ＝ l ，且 P ∈ l 2 . 基本事实 1 、 2 的三个推论 推论 内容 图形 作用 推论 1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定平 面的依据 推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 1. 如何理解基本事实 1 中的 “ 有且只有一个 ” ？ 提示 ： 这里的 “ 有 ” 是说图形存在， “ 只有一个 ” 是说图形唯一，基本事实 1 强调的是存在性和唯一性两个方面，因此 “ 有且只有一个 ” ，必须完整地使用，不能仅用 “ 只有一个 ” 来代替 “ 有且只有一个 ” ，否则就没有表达存在性 . 2. 两个不重合的平面可能存在有限个公共点吗？ 提示 ： 不可能 . 要么没有公共点，要么有无数个公共点 . 3. 如果两个不重合的平面有无数个公共点，那么这些公共点有什么特点？ 提示： 这些公共点落在同一条直线上 . 1. 能确定一个平面的条件是（　　） A. 三个点 B. 任意不重合的两条直线 C. 无数个点 D. 两条相交直线 答案： D 2. 如图所示的平行四边形 MNPQ 表示的平面不能记为（　　） A. 平面 MN 　　　　　　 B. 平面 NQP C. 平面 α D. 平面 MNPQ 解析： A 　 表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面 MP . 3. 若点 Q 在直线 b 上， b 在平面 α 内，则 Q ， b ， α 之间的关系可记作 　　　　　 .   解析： 因为点 Q （元素）在直线 b （集合）上，所以 Q ∈ b . 又因为直线 b （集合）在平面 α （集合）内，所以 b ⊂ α. 答案： Q ∈ b ⊂ α 题型一 立体几何三种语言的相互转化 【例 1 】 　用符号表示下列语句，并画出图形： （ 1 ）平面 α 与 β 相交于直线 l ，直线 a 与 α ， β 分别相交于点 A ， B ； （ 2 ）点 A ， B 在平面 α 内，直线 a 与平面 α 交于点 C ，点 C 不在直线 AB 上 . 解　 （ 1 ）用符号表示： α ∩ β ＝ l ， a ∩ α ＝ A ， a ∩ β ＝ B ，如图 . （ 2 ）用符号表示： A ∈ α ， B ∈ α ， a ∩ α ＝ C ， C ∉ AB ，如图 . 通性通法 三种语言的转换方法 （ 1 ）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示；