一、依赖关系【问题思考】1.某人坐摩天轮一圈用时8 min.若摩天轮匀速转动,则他的海拔高度与摩天轮转动的时间有依赖关系吗?当他位于摩天轮一半高度时,摩天轮转了多少分?提示:该人的海拔高度与摩天轮转动的时间有依赖关系.当他位于摩天轮一半高度时,摩天轮转了2 min或6 min.2.填一填:在某变化过程中有两个变量,如果其中一个变量的值发生了变化,另一个变量的值也会随之发生变化,那么就称这两个变量具有依赖关系.
二、函数关系【问题思考】1.若某人坐摩天轮一圈用时8 min,摩天轮匀速转动,现将摩天轮的转动时间t当作自变量,他的海拔高度h为因变量,则每取一个t值,有几个h值与之对应?提示:每取一个t值,有唯一一个h值与之对应.2.填空:如果在一个变化过程中,有两个变量x和y,对于变量x的每一个值,变量y都有唯一确定的值和它对应,那么y就是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.
3.做一做:下列说法不正确的是( )A.依赖关系不一定是函数关系B.函数关系是依赖关系C.如果变量m是变量n的函数,那么变量n也是变量m的函数D.如果变量m是变量n的函数,那么变量n不一定是变量m的函数
解析:根据依赖关系与函数关系的区别可知A,B正确.若变量m是变量n的函数,因为满足函数关系的自变量n对因变量m可以是多对一,此时若把m换成自变量,n换成因变量,显然对于m的每一个取值,会有多个n与之对应,所以变量n不是变量m的函数.故C错误,D正确.答案:C
三、依赖关系与函数关系【问题思考】1.在上述二【问题思考】1中,h是t的函数吗?t是h的函数吗?h,t有依赖关系吗?提示:h是t的函数;t不是h的函数;h,t有依赖关系.2.填空:函数关系一定是依赖关系,而依赖关系不一定是函数关系.要确定变量的函数关系,需先分清谁是自变量,谁是因变量.
3.想一想:某天的感冒人数与天气之间的关系是函数关系吗?提示:某天的感冒人数与天气之间有一定的依赖关系,但不是函数关系,因感冒人数除与天气有关外还与个人的体质、所处环境等有关.
四、分段函数【问题思考】1.某市空调公共汽车的票价按下列规则制定:①5 km以内(含5 km),票价2元.②5 km以上,每增加5 km,票价增加1元(不足5 km的按5 km计算).已知两个相邻的公共汽车站间相距1 km,沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站.请根据以上内容,回答下面的问题:(1)从起点站出发,公共汽车的行程x(km)与票价y(元)间的函数关系是什么?(2)这种函数关系的特征是什么?
提示:(1)当0<x≤5时,y=2;当5<x≤10时,y=3,(2)在给定范围内,对于自变量x的不同取值,对应关系也不同.
2.填空:形如上述的函数,一般叫作分段函数.
【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)圆的周长与其直径的比值是常量.( √ )(2)任意四边形的内角和的度数是常量.( √ )(3)发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系.( √ )
探究一 依赖关系与函数关系【例1】 下列各组中两个变量间之间是否存在依赖关系?其中哪些是函数关系?(1)球的体积和它的半径;(2)速度不变的情况下,汽车行驶的路程与行驶时间;(3)家庭的收入与其消费支出;(4)正三角形的面积和它的边长.
解:(1)中,球的体积V与半径r间存在 的关系.(2)中,在速度不变的情况下,行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系.(3)中,家庭收入与其消费支出间存在关系,但具有不确定性.(4)中,正三角形的面积S与其边长a间存在 的关系.综上可知(1)(2)(3)(4)中两个变量间都存在依赖关系,其中(1)(2)(4)是函数关系.
判断两个变量间有无依赖关系,主要看其中一个变量变化时,是否会导致另一个变量随之变化.而判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系,关键是看两个变量之间的关系是否具有确定性,即考察对于一个变量的每一个值,另一变量是否都有唯一确定的值与之对应.
【变式训练1】 谚语“瑞雪兆丰年”说明( )A.下雪与来年的丰收具有依赖关系B.下雪与来年的丰收具有函数关系C.下雪是丰收的函数D.丰收是下雪的函数解析:积雪层对越冬作物具有防冻保暖的作用,大雪可以防止土壤中的热量向外散发,又可阻止外界冷空气的侵入,具有增墒肥田的作用.所以下雪与来年的丰收具有依赖关系,但不是函数关系.答案:A
探究二 用图象表示变量间的关系【例2】 某市一天24 h内的气温变化,如图所示. 上午8时的气温是多少?全天的最高气温、最低气温分别是多少?
解:上午8时的气温是0 ℃,全天最高气温大约是9 ℃,在14时达到,全天最低气温大约是-2 ℃,在4时达到.
1.本例中条件不变,请问大约在什么时刻,气温为0 ℃?解:大约在8时和22时,气温为0 ℃.2.本例中条件不变,大约在什么时间内,气温在0 ℃以上?两个变量有什么特点,它们具有怎样的对应关系?解:大约在8时到22时之间,气温在0 ℃以上,变量0≤t≤24,变量-2≤θ≤9,由于图象是连续的,可知它们之间具有随着时间的增加,气温先降再升再降的变化趋势,所以θ与t具有依赖关系,也具有函数关系.
对于这类问题,求解的关键是充分利用图象.所反映的关系使其与生活中两个变量之间的变化情况相吻合,以达到用图的目的.
探究三 用表格表示变量间的关系【例3】 声音在空气中传播的速度
2023-2024学年北师大版必修第一册 生活中的变量关系(课件)
