2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第3册 6.2.2.2　排列数的应用 学案

6.2.2.2 　排列数的应用 素养目标 · 定方向 学习目标 特别关注 1 ． 进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解题方法 ． 2 ． 能应用排列知识解决简单的实际问题 . 重点： 有限制条件的排列问题 ． 难点： 正确进行分类 ． 核心素养： 逻辑推理、数学运算 . 必备知识 · 探新知 　 知识点 1 　 解排列应用题的基本思想 　 知识点 2 　 求解排列问题的主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 定序问题 除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反，等价转化的方法 关键能力 · 攻重难 题型探究 题型一 　 数字排列问题 典例 1 　 用 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 这六个数字组成无重复数字的整数 ， 求满足下列条件的数各有多少个 ． ( 1 ) 六位奇数 ； ( 2 ) 个位数字不是 5 的六位数 ； [ 解析 ] 　 (1)( 方法一：位置分析法 ) 从个位入手：个位排奇数，即从 1 ， 3 ， 5 中选 1 个有 A 种方法，首位数从排除 0 及个位数余下的 4 个数字中选 1 个有 A 种方法，余下的数字可在其他位置全排列有 A 种方法，由分步乘法计数原理可得，共有 A × A × A ＝ 288 个不同的六位奇数． ( 方法二：位置分析法 ) 从首位入手：对首位排列奇数还是非 0 偶数分两类进行． 第 1 类，首位排奇数，有 A 种方法，个位排奇数有 A 种方法，其余位置全排列有 A 种方法，则共有 A × A × A ＝ 144 个． 第 2 类，首位排非 0 偶数的六位奇数有 A × A × A ＝ 144 个． 根据分类加法计数原理可得，共有 144 ＋ 144 ＝ 288 个不同的六位奇数． ( 方法三：元素分析法 )0 不在两端有 A 种排法．从 1 ， 3 ， 5 中选 1 个排在个位，剩下的 4 个数字全排列．故所排六位奇数共有 A × A × A ＝ 288 个． ( 方法四：排除法 ) 从整体上排除： 6 个数字的全排列数有 A 个 .0 ， 2 ， 4 在个位上的排列数有 3A 个，而 1 ， 3 ， 5 在个位上且 0 在首位上的排列数有 3A 个． 故符合条件的六位数有 A － 3A － 3A ＝ 288 个． ( 方法五：排除法 ) 从局部上排除： 1 在个位上的排列数有 A 个， 1 在个位且 0 在首位的排列数有 A 个， 故 1 在个位上的六位数有 (A － A ) 个． 同理 3 ， 5 分别在个位时对应的六位数个数均为 A － A ， 故符合条件的六位数有 3(A － A ) ＝ 288 个． (2)( 方法一：排除法 )0 在首位和 5 在个位时均不符合题意，故符合题意的六位数共有 A － 2A ＋ A ＝ 504 个． ( 方法二：位置分析法 ) 个位不排 5 时，首位数字的排法因个位上排 0 与不排 0 而有所不同，因此，分两类： 第 1 类，当个位排 0 时，有 A 个； 第 2 类，当个位不排 0 时，有 A × A × A 个． 故符合题意的六位数共有 A ＋ A × A × A ＝ 504 个． [ 规律方法 ] 　 解数字排列问题常见的解题方法 1 ． “ 两优先排法 ” ：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充．如 “ 0 ” 不排 “ 首位 ” ． 2 ． “ 分类讨论法 ” ：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理计算，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当：二是分类过程要做到不重不漏． 3 ． “ 排除法 ” ：全排列数减去不符合条件的排列数． 4 ． “ 位置分析法 ” ：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好． 【对点训练】 ❶ 从 1 ， 3 ， 5 三个数中选两个数字 ， 从 0 ， 2 两个数中选一个数字 ， 组成没有重复数字的三位数 ， 其中奇数的个数为 _ 18 __ . [ 解析 ] 　 由题意，要求组成的三位数是奇数，对于此三位数可分为两种情况：奇偶奇、偶奇奇，所以共有 A A ＋ A ＝ 18 个． 题型二 　 有特殊元素或特殊位置的排列问题 典例 2 　 4 名男同学和 3 名女同学站成一排照相 ， 计算下列情况各有多少种不同的站法 ？ ( 1 ) 男生甲必须站在两端 ． ( 2 ) 女生乙不站在两端 ， 且女生丙不站在正中间 ． ( 3 ) 男生甲不站在排头 ， 女生乙不站在排尾 ． [ 解析 ] 　 (1) 完成这件事可分成两步． 第一步：先排甲，两端有 2 个位置可供选择，有 2 种站法； 第二步：再排其余 6 人，这相当于从 6 个不同元素中取出 6 个元素的排列问题，有 A 种站法． 根据分步乘法计数原理，共有 2 × A ＝ 1 440 种不同的站法． (2) 以女生乙是否站在正中间位置为标准分成两类． 第一类：女生乙站在正中间，则女生丙可站在余下的任意位置，因此其余 6 人 ( 含女生丙 ) 的站法即相当于从 6 个不同元素中取出 6 个元素的排列问题，有 A 种方法． 第二类：女生乙不站在正中间，完成这件事可分为三步． 第一步：女生乙有 4 个位置可选择，有 4 种站法； 第二步：女生丙不能站在正中间 ( 可站在两端 ) ，有 5 个位置可选择，有 5 种站法； 第三步：其余 5 人可自由选择，有 A 种站法． 根据两个计数原理得，不同的站法共有 A ＋ 4 × 5 ×