2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册 第四章 4.2.2　第1课时　指数函数的图象和性质(一) 学案

4.2.2 　指数函数的图象和性质 第 1 课时　指数函数的图象和性质 ( 一 ) 学习目标 　 1 . 能作指数函数的图象 , 并掌握指数函数的图象特征 . 2 . 能借助指数函数的图象及单调性比较大小 . 教材知识梳理 一 指数函数的图象和性质 指数函数 y = a x ( a >0, 且 a ≠1) 的图象和性质如表 : 项目 a >1 0< a <1 图象 定义域 R 值域 (0,+∞) 性 质 过定点 过定点 (0,1) , 即 x =0 时 , y =1 函数值 的变化 当 x >0 时 , y >1 当 x <0 时 , 0< y <1 当 x >0 时 , 0< y <1 当 x <0 时 , y >1 单调性 在 R 上是 增函数 在 R 上是 减函数 二 底数对指数函数图象的影响 一般地 , 在同一坐标系中有多个指数函数图象时 , 图象的相对位置与底数大小有如下关系 : 第一象限内的图象从上到下相应的底数 由大变小 . 这一性质简称为 “ 指数函数在第一象限内 , 底大图高 ”, 可通过令 x =1 去理解 , 如图 . 三 指数函数 y = a x 与 y = x ( a >0 且 a ≠1) 的图象关于 y 轴 对称 . 【质疑辨析】 ( 正确的打 “√”, 错误的打 “×”) (1) 因为 a 0 =1( a >0 且 a ≠1), 所以 y = a x 恒过点 (0,1) . ( 　 √ 　 ) (2) y = a x ( a >0 且 a ≠1) 的最小值为 0 . ( 　 × 　 ) (3) 指数函数 y =2 x , y =3 x 在第一象限内的图象 , 后者较高 . ( 　 √ 　 ) (4) 指数函数 y =2 x 与 y = x 的图象关于 y 轴对称 . ( 　 √ 　 ) 教材典题变式 【例 1 】 ( 源于 P117 例 3) (1) 设 a =0 . 6 0 . 6 , b =0 . 6 1 . 5 , c =1 . 5 0 . 6 , 则 a , b , c 的大小关系是 ( 　　 ) A .a < b < c B .a < c < b C .b < a < c D .b < c < a 【答案】 C 【详解】因为 1 . 5 0 . 6 >1 . 5 0 =1,0 . 6 0 . 6 <0 . 6 0 =1, 故 1 . 5 0 . 6 >0 . 6 0 . 6 , 又函数 y =0 . 6 x 在 (-∞,+∞) 上是减函数 , 且 1 . 5>0 . 6, 所以 0 . 6 1 . 5 <0 . 6 0 . 6 , 故 0 . 6 1 . 5 <0 . 6 0 . 6 <1 . 5 0 . 6 . (2) 比较大小 : a 0 . 5 与 a 0 . 3 ( a >0 且 a ≠1) . 【详解】当 a >1 时 , y = a x 在 R 上是增函数 , 故 a 0 . 5 > a 0 . 3 ; 当 0< a <1 时 , y = a x 在 R 上是减函数 , 故 a 0 . 5 < a 0 . 3 . 【归纳总结】 比较指数幂大小的方法 　 (1) 同底数指数幂比较大小时构造指数函数 , 根据函数的单调性比较 . (2) 指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象 , 当 x 取相同幂指数时可观察出函数值的大小 . (3) 底数、指数都不相同时 , 取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较 , 或借助中间量 “1” 与两数比较 . (4) 当底数含参数时 , 要按底数 a >1 和 0< a <1 两种情况分类讨论 . 教材拓展延伸 【例 2 】 (1) 函数 f ( x )= a x 与 g ( x )=- x + a 的图象大致是 ( 　　 ) (2) 函数 f ( x )= a x - b 的图象如图所示 , 其中 a , b 为常数 , 则下列结论正确的是 ( 　　 ) A .a >1, b <0 B .a >1, b >0 C . 0< a <1, b >0 D . 0< a <1, b <0 【答案】 (1)A 　 (2)D 【详解】 (1) 当 a >1 时 , 函数 f ( x )= a x 单调递增 , 当 x =0 时 , g (0)= a >1, 此时两函数的图象大致为选项 A . (2) 由于 f ( x ) 的图象单调递减 , 所以 0< a <1, 又 0< f (0)<1, 所以 0< a - b <1= a 0 , 即 - b >0, 所以 b <0 . 【归纳总结】 指数函数图象问题的处理技巧 　 (1) 抓住图象上的特殊点 , 如指数函数的图象所过的定点 . (2) 利用图象变换 , 如函数图象的平移变换 ( 左右平移、上下平移 ) . (3) 利用函数的性质 , 如奇偶性与单调性 , 奇偶性确定函数的对称情况 , 单调性决定函数图象的走势 . 【例 3 】 (1) 已知函数 f ( x )=4+ a x +1 ( a >0, 且 a ≠1) 的图象经过定点 P , 则点 P 的坐标是 ( 　　 ) A . (-1,5) B . (-1,4) C . (0,4) D . (4,0) (2) 函数 y =2 a x -3 +3( a >0, 且 a ≠1) 的图象过定点 　　　　　　 .  【答案】 (1)A 　 (2)(3,5) 【详解】 (1) 当 x +1=0 即 x =-1 时 , a x +1 = a 0 =1 为常数 , 此时 f ( x )=4+1=5 . 即点 P 的坐标为 (-1,5) . (2) 令 x -3=0 得 x =3, 此时 y =5 . 故函数 y =2 a x -3 +3( a >0, 且 a ≠1) 的图象过定点 (3,5) . 【归纳总结】 　 求指数函数图象所过的定点时 , 只要令指数为 0, 求出对应的 y 值 , 即可得函数图象所过的定点 . 【例 4 】求下列函数的定义域和值域 : (1) y = ; (2) y =4 x +2 x +1 +2 . 【详解】 (1) 要使函数式有意义 , 则 1-3 x ≥0, 即 3 x ≤1=3 0 , 因为函数 y =3 x 在 R 上是增函数 , 所以 x ≤0, 故函数 y = 的定义域为 (-∞,0] . 因为 x ≤0, 所以 0<3 x ≤1, 所以 0≤1-3 x <1, 所以 ∈ [0,1), 即函数 y = 的值域为 [0,1) . (2) 因为对于任意的 x ∈ R, 函数 y =4 x +2 x +1 +2 都有意义 , 所以函数 y =4 x +2 x +1 +2 的定义域为 R . 因为 2 x >0, 所以 4 x +2 x +1 +2=(2 x ) 2 +2×2 x +2=(2 x +1) 2 +1>1+1=2, 即函数 y =4 x +2 x +1 +2 的值域为 (2,+∞) .