6
．
3.2
平面向量的正交分解及坐标表示
6
．
3.3
平面向量加、减运算的坐标表示
课程标准
1.
了解平面向量的正交分解，掌握
向量的坐标表示．
2
．理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运算法则．
新知初探
·
课前预习
——
突出基础性
教
材
要
点
要点一 平面向量的正交分解
把一个向量分解成两个
________
的向量，叫做把向量作正交分解．
要点二 平面向量的坐标表示
在平面直
角坐标系中，设与
x
轴、
y
轴方向
________
的两个
______
向量分别为
i
，
j
，取
{
i
，
j
}
作为基底，对于平面内的任意一个向量
a
，由平面向量基本定理知，
________
一对实数
x
，
y
，使得
a
＝
x
i
＋
y
j
，则把有序数对
________
叫做向量
a
的坐标
❶
，
记作
a
＝
________
，其中
x
叫做
a
在
x
轴上的坐标，
y
叫做
a
在
y
轴上的坐标，
a
＝
(
x
，
y
)
叫做向量
a
的坐标表示．显然，
i
＝
________
，
j
＝
________
，
0
＝
(0
，
0)
．
要点三 平面向量加、减运算的坐标表示
设
a
＝
(
x
1
，
y
1
)
，
b
＝
(
x
2
，
y
2
)
，
数学公式
文字语言表述
向量加法
a
＋
b
＝
(
x
1
＋
x
2
，
y
1
＋
y
2
)
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量减法
a
－
b
＝
(
x
1
－
x
2
，
y
1
－
y
2
)
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
已知点
A
(
x
1
，
y
1
)
，
B
(
x
2
，
y
2
)
，那么向量
＝
(
x
2
－
x
1
，
y
2
－
y
1
)
❷
，
即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
助
学
批
注
批注
❶
向量坐标与点的坐标有区别，当且仅当向量的起点为坐标原点时，向量坐标才与其终点的坐标相等．如：点
A
的位置向量
的坐标
(x
，
y)
，也就是点
A
的坐标
(x
，
y)
；反之，点
A
的坐
标
(x
，
y)
也是点
A
相对于坐标原点的位置
向量
的坐标．
批注
❷
向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．若
＝
(a
1
，
a
2
)
，则将
任意平移后其坐标仍为
(a
1
，
a
2
)
．
夯
实
双
基
1
．判断正误
(
正确的画
“√”
，错误的画
“×”)
(1)
两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．
(
)
(2)
向量的坐标就是向量终点的坐标．
(
)
(3)
在平面直角坐标系中，两个相等向量的坐标相同．
(
)
(4)
点的坐标与向量的坐
标相同．
(
)
2
．已知向量
a
＝
(2
，
1)
，
b
＝
(0
，
1)
，则
a
－
b
＝
(
)
A.(2
，
0) B
．
(0
，
1)
C.(2
，
1) D
．
(4
，
1)
3
．在平面直角坐标系中，若点
A
(0
，
1)
，
B
(
－
1
，
2)
，则
的坐标为
(
)
A.(
－
1
，
1) B
．
(1
，
1)
C.(
－
1
，
2) D
．
(
－
1
，
3)
4
．已知向量
a
＝
(0
，
3)
，
b
＝
(4
，
1)
，则
a
＋
b
的坐标是
________
．
题型探究
·课堂解透
——
强化创新性
题型
1
平面向量的坐标表示
例
1
在平面直角坐标系中，向量
a
，
b
，
c
的方向如图所示，
|
a
|
＝
2
，
|
b
|
＝
3
，
|
c
|
＝
4
，求向量
a
，
b
，
c
的坐标．
题后师说
求点、向量坐标的常用方法
(1)
求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．
(2)
求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．
巩固训练
1
如图，取与
x
轴、
y
轴同向的两个单位向量
i
，
j
，
{
i
，
j
}
作为基底，分别用
i
，
j
表示
，
并求出它们的坐
标．
题型
2
平面向量加、减运算的坐标表示
例
2
(1)
已知向量
a
，
b
满足
a
＋
b
＝
(1
，
3)
，
a
－
b
＝
(3
，－
3)
，则
a
，
b
的坐标分别为
(
)
A
．
(4
，
0)
，
(
－
2
，
6)
B
．
(
－
2
，
6)
，
(4
，
0)
C
．
(2
，
0)
，
(
－
1
，
3)
D
．
(
－
1
，
3)
，
(2
，
0)
(2)
在
▱
ABCD
中，
AC
为一条对角线，若
＝
(2
，
4)
，
＝
(1
，
3)
，求
的坐标．
题后师说
平面向量加、减坐标运算的方法
(1)
若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行运算．
(2)
若已
知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
巩固训练
2
已知点
A
(0
，
1)
，
B
(3
，
2)
，向量
＝
(
－
4
，－
3)
，则向量
＝
(
)
A
．
(
－
7
，－
4)
B
．
(7
，
4)
C
．
(
－
1
，
4)
D
．
(1
，
4)
题型
3
平面向量坐标运算的应用
例
3
在直角坐标系中，
O
为原点，
A
(
－
3
，－
4)
，
B
(5
，－
12)
，且
O
、
A
、
B
是一个平行四边形的三个顶点，求第四个顶点坐标．
题后师说
在平面几何问题中，可以借助平行四边形对边平行且相等，也可利用平行四边形法则求解．
巩固训练
3
已知四边形
ABCD
的三个顶点
A
(0
，
2)
，
B
(
－
1
，－
2)
，
C
(3
，
1)
，且
＝
，
则顶点
D
的坐标为
(
)
A
．
B
．
C
．
(4
，
5)
D
．
(1
，
2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 学案
