2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册 1.2　空间向量基本定理 学案

1 ． 2 　空间向量基本定理 学习目标 1. 了解空间向量基本定理及其意义． 2. 掌握空间向量的正交分解． 3. 掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法． 知识脉络 1 ．空间向量基本定理 如果三个向量 a ， b ， c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在 唯一的 有序实数组 { x ， y ， z } ，使得 p ＝ x a ＋ y b ＋ z c ．其中 { a ， b ， c } 叫做空间的一个 基底 ， a ， b ， c 都叫做 基向量 ． 思考 1 ：零向量能不能作为一个基向量？ 提示　不能．因为 0 与任意一个非零向量共线 ， 与任意两个非零向量共面． 思考 2 ：当基底确定后，空间向量基本定理中实数组 ( x ， y ， z ) 是否唯一？ 提示　唯一． 2 ．空间向量的正交分解 (1) 单位正交基底 三个有公共起点 O 的 两两垂直 的单位向量 i ， j ， k 称为 单位正交基底 ． (2) 对于空间任意一个向量 a ，存在有序实数组 { x ， y ， z } ，使得 a ＝ x i ＋ y j ＋ z k ，把一个空间向量分解为三个 两两垂直 的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 判断正误 (1) 若 { ， ， } 不能构成空间的一个基底，则 O ， A ， B ， C 四点共面． ( 　　 ) (2) 若 { a ， b ， c } 为空间的一个基底，则 a ， b ， c 全不是零向量． ( 　　 ) (3) 只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底． ( 　　 ) (4) 向量 的坐标与点 P 的坐标一致． ( 　　 ) 解析　 (1) 正确 ， 空间任意三个不共面的向量均可以构成基底 ， 若三个向量不能构成基底 ，则这三个向量共面． (2) 正确 ， 零向量与任意两个非零向量共面． (3) 错误 ， 空间向量的基底只要求三个向量不在同一个平面内即可． (4) 错误 ， 向量的坐标不一定对应点的坐标 ， 只有以原点为起点的向量的坐标与对应有向线段终点的坐标一致． 答案　 (1) √ 　 (2) √ 　 (3) × (4) × 空间向量基本定理的三个关注点 (1) 空间任意向量：用空间三个不共面的向量 a ， b ， c 可以线性表示出空间中任意一个向量 ， 而且表示的结果是唯一的． (2) 基底的选取：空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底． (3) 顺序性：向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应 ， 即若基底为 { e 1 ， e 2 ， e 3 } ， p ＝ x e 1 ＋ y e 2 ＋ z e 3 ， 则 p 的坐标为 ( x ， y ， z ). 类型一 基底的概念与判断 数学抽象 【例 1 】　 (1)( 多选题 ) 设 x ＝ a ＋ b ， y ＝ b ＋ c ， z ＝ c ＋ a ，且 { a ， b ， c } 是空间的一个基底，给出下列向量组：其中可以作为空间一个基底的向量组有 ( 　　 ) A ． { a ， b ， x } 　　　 B ． { x ， y ， z } C ． { b ， c ， z } D ． { x ， y ， a ＋ b ＋ c } (2) 已知 { e 1 ， e 2 ， e 3 } 是空间的一个基底，且 ＝ e 1 ＋ 2 e 2 － e 3 ， ＝－ 3 e 1 ＋ e 2 ＋ 2 e 3 ， ＝ e 1 ＋ e 2 － e 3 ，试判断 { ， ， } 能否作为空间的一个基底． (1) BCD 　 [ 如图所示 ， 令 a ＝ ， b ＝ ， c ＝ ， 则 x ＝ ， y ＝ ， z ＝ ， a ＋ b ＋ c ＝ . 由于 A ， B 1 ， C ， D 1 四点不共面 ， 可知向量 x ， y ， z 也不共面 ， 同理 b ， c ， z 和 x ， y ， a ＋ b ＋ c 也不共面 ， 故选 BCD.] (2) 解　假设 ， ， 共面 ， 由向量共面的充要条件知 ， 存在实数 x ， y ， 使 ＝ x ＋ y 成立 ， ∴ e 1 ＋ 2 e 2 － e 3 ＝ x ( － 3 e 1 ＋ e 2 ＋ 2 e 3 ) ＋ y ( e 1 ＋ e 2 － e 3 ) ， 即 e 1 ＋ 2 e 2 － e 3 ＝ ( y － 3 x ) e 1 ＋ ( x ＋ y ) e 2 ＋ (2 x － y ) e 3 . ∵ { e 1 ， e 2 ， e 3 } 是空间的一个基底 ， ∴ e 1 ， e 2 ， e 3 不共面． ∴ ， 此方程组无解． 即不存在实数 x ， y 使得 ＝ x ＋ y ， ∴ ， ， 不共面． ∴ { ， ， } 能作为空间的一个基底． 类型二 用基底表示空间向量 数学运算、逻辑推理 【例 2 】　 (1) 在四面体 O ­ ABC 中， ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ， D 为 BC 的中点， E 为 AD 的中点，则 ＝ ( 　　 ) A ． a － b ＋ c B ． a － b ＋ c C ． a ＋ b ＋ c D ． a ＋ b ＋ c (2) 如图，已知平行六面体 ABCD ­ A 1 B 1 C 1 D 1 ， ＝－ ， ＝ . 设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，试用 a ， b ， c 表示 . (1) C 　 [ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ × ( ＋ ) ＝ ＋ ( － ＋ － ) ＝ ＋ ＋ ＝ a ＋ b ＋ c .] (2) 解　连接 AN ， 则 ＝ ＋ . 由 ABCD 是平行四边形 ， 得 ＝ ＋ ＝ a ＋ b ， 则 ＝－ ＝－ ( a ＋ b ). 又 ＝ － ＝ b － c ∴ ＝ ＋ ＝ － ＝ － ＝ b － ( b － c ) ∴ ＝ ＋ ＋ ＝－ ( a ＋ b ) ＋ b － ( b － c ) ＝ ( － a ＋ b ＋ c ). 【延伸探究 1 】 试把题 (2) 中长方体中的体对角线所对应向量 用向量 ， ， 表示？ 解　在平行四边形 ACC ′ A ′ 中 ， 由平行四边形法则可得 ＝ ＋ ， 在平行四边形 ABCD 中 ， 由平行四边形法则可得 ＝ ＋ ， 故 ＝ ＋ ＋ . 【延伸探究 2 】 若题 (2) 结论改为用向量 a ， b ， c 表示 ，则结果如何？ 解　如例 2(2) 图 ， 连接 ， 则 ＝ ＋ ＝－