知识梳理·读教材01题型突破·析典例02知能演练·扣课标04目录CONTENTS三维微点 03
01知识梳理·读教材
假设某商品的利润y是销售量u的函数，销售量u是销售价格x的函数，且y＝f（u）＝60u－u2，u＝g（x）＝60－3x. 那么，不难看出，利润y是销售价格x的函数，且有y＝60u－u2＝60（60－3x）－（60－3x）2＝180x－9x2. 上式也可这样得到：f（g（x））＝60g（x）－[g（x）]2＝180x－9x2.
（2）设y＝f（g（x））＝180x－9x2，求y'，并观察f'（u）和u'＝g'（x）的关系. 问题 （1）函数f（g（x））与f（x）和g（x）是什么关系？
知识点 复合函数及求导法则1.复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f（u）和u＝φ（x）＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数y＝f（u）和u＝φ（x）的复合函数，记作y＝ f（φ（x，其中 u 为中间变量.2.简单复合函数的求导法则y'x＝[f（φ（x））]'＝ f'（u）φ'（x） ，其中u＝φ（x）.特别地，当u＝ax＋b时，y'x＝ a·f'（u） .f（φ（x）） u f'（u）φ'（x） a·f'（u）
提醒 复合函数导数的求解技巧：①中间变量的选择应是基本函数结构；②关键是正确分析函数的复合层次；③一般是从最外层开始，由外及内，一层层地求导；④善于把一部分表达式作为一个整体；⑤最后要把中间变量换成自变量的函数.
1.已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln（2x＋5），y＝sin（x＋2）.这三个函数都是复合函数吗？提示：函数y＝ln（2x＋5），y＝sin（x＋2）是复合函数，函数y＝2x＋5＋ln x不是复合函数.2.试说明函数y＝ln（2x＋5）是如何复合的？提示：设u＝2x＋5，则y＝ln u，从而y＝ln（2x＋5）可以看作是由y＝ln u和u＝2x＋5，经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）f（x）＝2x2－是复合函数.（ ） 答案：（1）× （2）y＝cos 3x由函数y＝cos u，u＝3x复合而成.（ ）答案：（2）√ （3）函数f（x）＝e2x－1的导数为f'（x）＝2e2x－1.（ ）答案：（3）√
2.设f（x）＝cos 2x－3x，则f'＝（ ） A.－5B.－3C.－4D.－A.－5B.－3C.－4解析：f'（x）＝－2sin 2x－3，f'＝－2sin π－3＝－3.
3.曲线f（x）＝e－2x＋3在（1，f（1））处的切线的斜率是 . 解析：f'（x）＝－2e－2x＋3，f'（1）＝－2e，即k＝－2e.答案：－2e
02题型突破·析典例
题型一 简单复合函数求导【例1】 求下列函数的导数：（1）y＝； 解 （1）令u＝1－3x，则y＝＝u－4，所以y'u＝－4u－5，u'x＝－3.所以y'x＝y'u·u'x＝12u－5＝.
（2）y＝cos x2；解 （2）令u＝x2，则y＝cos u，所以y'x＝y'u·u'x＝－sin u·2x＝－2xsin x2.（3）y＝log2（2x＋1）.解 （3）令u＝2x＋1，则y＝log2u，所以y'x＝y'u·u'x＝＝.
通性通法求复合函数的导数的步骤
求下列函数的导数：（1）y＝sin x2；解：（1）令u＝x2，则y＝sin u，所以y'x＝cos u·u'＝cos x2·2x＝2xcos x2.（2）y＝sin2； 解：（2）令y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋，则y'x＝y'u·u'v·v'x＝2u·cos v·2＝2sin·cos·2＝2sin. （3）y＝. 解：（3）令u＝1＋x2，则y＝＝，所以y'x＝·（1＋x2）'＝ .
题型二 复合函数导数的应用问题【例2】 某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s（t）＝3sin（0≤t≤24），其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义. 解 设f（x）＝3sin x，x＝φ（t）＝t＋，所以s'（t）＝f'（x）φ'（t）＝3cos x·＝cos，将t＝18代入s'（t），得s'（18）＝cos＝（m/h）.s'（18）表示当t＝18 h时，潮水的高度上升的速度为 m/h.
通性通法 将复合函数的求导与导数的实际意义相结合，旨在巩固函数在某点处的导数，反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况.
某市在一次降雨过程中，降雨量y（mm）与时间t（min）的关系可近似地表示为y＝f（t）＝，则在时刻t＝41 min的降雨强度为（ ） A.2 mm/minB.4 mm/minC. mm/minD. mm/minA.2 mm/minB.4 mm/min解析：f'（t）＝·[10（t－1）]'＝，∴f'（41）＝＝，故选D.
题型三 与复合函数有关的切线问题【例3】 （1）曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是（ ）A.B.2C.3D.0D.0解析 （1）设曲线y＝ln（2x－1）在点（x0，y0）处的切线与直线2x
2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第二册简单复合函数的求导法则课件
