知识梳理·读教材01题型突破·析典例02知能演练·扣课标03目录CONTENTS
01知识梳理·读教材
苏轼《题西林壁》中的诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，描述的是庐山的高低起伏，错落有致.在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点.问题 在数学上，你知道怎样刻画这种现象吗？
知识点一 函数极值的概念1.极大值点与极大值（1）定义：在包含x0的一个区间（a，b）上，函数y＝f（x）在任何不为x0的一点处的函数值都 小于 点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f（x）的极大值点，其函数值f（x0）为函数的极大值；小于
（2）几何意义：极大值点x0和极大值f（x0）在坐标平面上的对应点（x0，f（x0））是函数y＝f（x）的图象在区间（a，b）上的（局部）最高点，如图；（3）对于可导函数y＝f（x），上述定义等价于：若f'（x0）＝0，且在点x＝x0附近的 左侧 f'（x）＞0， 右侧 f'（x）＜0，则x0是函数y＝f（x）的极大值点，f（x0）是函数y＝f（x）的极大值.左侧 右侧
2.极小值点与极小值（1）定义：在包含x0的一个区间（a，b）上，函数y＝f（x）在任何不为x0的一点处的函数值都 大于 点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f（x）的极小值点，其函数值f（x0）为函数的极小值；大于 （2）几何意义：极小值点x0和极小值f（x0）在坐标平面上的对应点（x0，f（x0））是函数y＝f（x）的图象在区间（a，b）上的（局部）最低点，如图；
（3）对于可导函数y＝f（x），上述定义等价于：若f'（x0）＝0，且在点x＝x0附近的 左侧 f'（x）＜0， 右侧 f'（x）＞0，则x0是函数y＝f（x）的极小值点，f（x0）是函数y＝f（x）的极小值.左侧 右侧 3.极值点与极值函数的极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值.
提醒 理解极值概念的注意点：①函数的极值是函数的一种局部性质，刻画的是函数在极值点附近两侧取值的大小情况.这个“附近”可以是很小很小的区间；②函数的极值点和函数的零点一样，都是一个实数，是使函数取得极值时自变量的值，不是点；③函数的极值点一定在函数的定义域内，定义域的端点不能成为极值点； ④一个函数未必存在极值点，若存在极值点也未必是唯一的，也可能有多个极值点，如图，x1，x3都是函数y＝ f（x）的极大值点，x2，x4都是函数y＝f（x）的极小值点.一个函数可以有无穷多个极值点，如函数y＝sin x既有无穷多个极大值点，也有无穷多个极小值点；
⑤极大值与极小值之间无确定的大小关系，即极大值未必大于极小值，极小值也未必小于极大值，如图，函数y＝f（x）在点x1处的极大值小于在点x4处的极小值；⑥常数函数、一次函数、指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）和对数函数y＝log ax（a＞0且a≠1）都不存在极值点.
1.函数y＝｜x－1｜在x＝1处是否有极值？是否可导？提示：有极值.x＝1为极小值点，y极小值＝0，但y＝｜x－1｜在x＝1处无导数.即y＝｜x－1｜在R上不是可导函数.2.导数为零的点一定是函数的极值点吗？提示：不一定.例如f（x）＝x3，f'（0）＝0，但x＝0不是它的极值点.一般地，当f'（x0）＝0时，若f（x）在x＝x0左右两侧附近的导数值异号，则f（x）在x＝x0处取得极值；若f（x）在x＝x0左右两侧附近的导数值同号，则f（x）在x＝x0处不能取得极值.
知识点二 函数极值的求法一般情况下，在极值点x0处，函数y＝f（x）的导数f'（x0）＝0.因此，可以通过如下步骤求出函数y＝f（x）的极值点：1.求出导数f'（x）.2.解方程f'（x）＝0.3.对于方程f'（x）＝0的每一个实数根x0，分析f'（x）在x0附近的符号（即f（x）的单调性），确定极值点：（1）若f'（x）在x0附近的符号“左正右负”，则x0为极大值点；（2）若f'（x）在x0附近的符号“左负右正”，则x0为极小值点；（3）若f'（x）在x0附近的符号相同，则x0不是极值点.
提醒 设x0是f（x）的一个极值点，并求出了f（x）的导数f'（x0），则f'（x0）＝0.反之不一定成立.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）函数的极大值一定大于极小值.（ ）答案：（1）× （2）函数y＝f（x）一定有极大值和极小值.（ ）答案：（2）× （3）函数的极值点是自变量的值，极值是函数值.（ ）答案：（3）√
2.已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）有（ ）A.两个极大值，一个极小值B.两个极大值，无极小值C.一个极大值，一个极小值D.一个极大值，两个极小值解析：由图可知导函数f'（x）有三个零点，依次设为x1＜0，x2＝0，x3＞0，当x＜x1
2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第二册函数的极值课件
