激趣诱思某摩托车生产企业上年度生产摩托车投入成本1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.为使本年度的年利润比上一年有所增加,那么投入成本增加的比例x应规定的范围是多少?
知识点拨一、一元二次不等式的概念1.定义:一般地,形如ax2+bx+c>0,或ax2+bx+c<0,或ax2+bx+c≥0,或ax2+bx+c≤0(其中,x为未知数,a,b,c均为常数,且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式.2.使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集.
名师点析 1.一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数,并且这个未知数是唯一的,但这并不是说不等式中不能含有其他字母,若含有其他字母,则把其他字母看成常数.2.一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知数的最高次数必须是2,且最高次项的系数不为0.
微练习下面哪些不等式是一元二次不等式:(1)x2>0;(2)-x-x2≤5;(3)x3+5x-6>0;(4)3x2-x+y<0;(5)ax2+bx+c>0.
解(1)是;(2)是;(3)不是,因为x的最高次数为三次;(4)不是,它含有两个未知数;(5)不是,因为a=0时,不符合一元二次不等式的定义
二、一元二次不等式的解法一元二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系如下表:
名师点析 一元二次不等式ax2+bx-c>0(a>0)的求解方法,如图.
微拓展解一元二次不等式的口诀:先看开口再看根,函数图象是根本;横轴上方y为正,根间根外想谨慎.
微练习(1)(2021甘肃宁县第二中学高二期末)不等式2+x-x2<0的解集为( )A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-2,1)C.(-1,2)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)(2)求不等式-x2+2x-3>0的解集.
(1)解析不等式可变形为x2-x-2>0,即(x-2)(x+1)>0,解得x<-1或x>2,所以不等式2+x-x2<0的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞).故选A.答案A(2)解不等式可化为x2-2x+3<0.因为Δ=-8<0,所以方程x2-2x+3=0无实数根.画出二次函数y=x2-2x+3的图象(如图). 观察图象得原不等式的解集为⌀.
课堂篇 探究学习
探究一一元二次不等式的求解例1解下列不等式:(1)2x2-3x-2>0;(2)-3x2+6x-2>0;(3)4x2-4x+1≤0;(4)x2-2x+2>0.分析先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集.
解(1)因为方程2x2-3x-2=0的判别式Δ=9+4×2×2=25>0,所以该方程的解 因为不等式对应的函数的图象是开口向上的抛物线, (2)不等式可化为3x2-6x+2<0.因为3x2-6x+2=0的判别式Δ=36-4×3×2=12>0,所以该方程的解是
因为不等式对应的函数的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集(4)因为x2-2x+2=0的判别式Δ=4-4×1×2=-4<0,所以方程x2-2x+2=0无实数解.又因为函数y=x2-2x+2的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集为R.
反思感悟 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正.(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根.(4)画图象.根据一元二次方程根的情况画出对应的一元二次函数的图象.(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.
变式训练 1解下列不等式:(1)4x2-20x<-25;(2)(x-3)(x-7)<0;(3)-3x2+5x-4<0;(4)x(1-x)≥x(2x-3)+1.
解(1)不等式可化为4x2-20x+25<0,由于Δ=0,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是⌀.(2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,故不等式的解集是{x|3<x<7}.(3)不等式-3x2+5x-4<0可化为3x2-5x+4>0,由于判别式Δ=25-48=-23<0,函数y=3x2-5x+4的图象开口向上,所以不等式的解集是R.(4)不等式x(1-x)≥x(2x-3)+1可化为3x2-4x+1≤0.因为方程3x2-4x+1=0的两
探究二已知不等式的解集求参数值例2求实数a,b的值,使得关于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分别为:(1)[-1,2];(2)(-∞,-1]∪[2,+∞);(3)[-1,+∞).分析根据解一元二次不等式的方法,逆向分析与思考,得出不等式对应方程解的情况,利用根与系数的关系进行求解.
解(1)由题意知a>0,且-1和2是关于x的方程ax2+bx+a2-1=0的两个根,所以有
反思感悟 1.一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根,要充分利用这个关系解题.2.不等式解集的形式与二次项系数有直接的关系,对于关于x的一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2),当a>0时,其解集是{x|x<x1,或x>x2},当a<0时,其解集是{x|x1<x<x2}.
变式训练 2已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),求关于x的不等式bx2+ax+1>0的解集.解∵关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),∴1,2是关于x的方程x2+ax+b=0的两个根.将其代入所求不等式bx2+ax+1>0,得2x2-3x+1>0.
探究三含参数的一元二次不等式的解法例3解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.分析先对二次项的系数进行讨论,再按不等式的解法求解.解①当a=0时,原不等式即为-x+1<0,解得x>1.
反思感悟 解含参数的一元二次不等式与解不含参数的一元二次不等式的基本思路是一致的,但
2023-2024学年北师大版必修第一册 第一章 4.2 一元二次不等式及其解法 4.3 一元二次不等式的应用 (课件)
