新知初探·课前预习
[教材要点] 要点 直线方程的一般式1．定义：关于x，y的二元一次方程____________(其中A，B不全为0)表示的是一条直线，称它为直线方程的一般式．2．适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．3．系数的几何意义：当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)；当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率． Ax＋By＋C＝0
状元随笔 解读直线方程的一般式：①方程是关于x，y的二元一次方程．②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．③x的系数一般不为分数和负数．④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．
[基础自测]1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程来表示．( )(2)任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．( )(3)直线l：Ax＋By＋C＝0的斜率为－.( )(4)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)表示过原点的直线．( ) √√×√
2．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是( )A．30° B．60°C．150° D．120° 解析：直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C. 答案：C
3．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为( )A．A≠0 B．B≠0C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0解析：根据直线方程的一般式可知，要使得Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B不能同时为零，即A2＋B2≠0.答案：D
4．斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为________．解析：由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化为一般式为：2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝0
题型探究·课堂解透
题型一 直线方程的一般式及其应用例1 利用直线方程的一般式，求过点(0，3)，并且与坐标轴围成三角形的面积是6的直线方程． 解析：设直线方程为Ax＋By＋C＝0，∵直线过点(0，3)，代入直线方程，得3B＝－C，B＝－与坐标轴交点分别为，由三角形面积为6，得＝12，∴A＝±∴方程为±x－y＋C＝0故所求直线方程为3x－4y＋12＝0或3x＋4y－12＝0.
方法归纳求直线一般式方程的策略1．当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．2．在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．
跟踪训练1 (1)[多选题]下列直线中，经过第一象限的是( )A．3x＋4y＋7＝0 B．4x－3y＋7＝0C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0答案：BCD
解析：(1)A中，令x＝0，y＝－；令y＝0，x＝－，如图， ，A不正确．B中，令x＝0，y＝；令y＝0，x＝－，如图， ，B正确；C中，令x＝0，y＝14；令y＝0，x＝，如图， ，C正确；D中，令x＝0，y＝；令y＝0，x＝14，如图， ，D正确．故选BCD.
(2)直线x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于( )A． B．－C． D．－3 答案：D解析：令y＝0，x＝－3.故选D.
题型二 直线方程的一般式与其它形式的转化例2 (1)求斜率是－，经过点A(8，－2)的直线方程；(2)求在x轴和y轴上的截距分别是，－3的直线方程；(3)若方程Ax＋By＋C＝0表示与两坐标轴都相交的直线，求A，B应满足的条件．
解析：(1)由点斜式得y－(－2)＝－(x－8)，即x＋2y－4＝0.(2)由截距式得＝1，即2x－y－3＝0.(3)当A＝0，B≠0时，直线化为y＝－，只与y轴相交，不符合题意；当B＝0，A≠0时，直线化为x＝－，只与x轴相交，不符合题意．当A≠0，B≠0时，直线化为y＝－x－，斜率为k＝－，截距为b＝－只要斜率存在且不为0，直线与两坐标轴均有交点，所以A≠0，B≠0.
方法归纳(1)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．(2)将直线方程化为斜截式，由斜率可求出A，B之间的关系，将此关系式代入A，B，C三者的关系式，即可得出B，C之间的关系式，将直线一般方程中的系数全部化为用B表示的式子，消去B，即可得到直线方程．
跟踪训练2 (1)经过两点A(3，－2)，B(5，－4)的直线方程为________________________；解析：由直线方程的两点式得：＝，整理得x＋y－1＝0. 答案：x＋y－1＝0
(2)已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3C＝0，则直线的方程是________________________．答案：15x－3y－7＝0解析：直线Ax＋By＋C＝0的斜截式为y＝－x－，所以－＝5，即A＝－5B，代入A－2B＋3C＝0得C＝B.将直线方程中参数全部化为关于B的式子为－5Bx＋By＋B＝0，消掉B，得15x－3y－7＝0.
题型三 由含参一般式求参数的值或取值范围例3 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．(1)当直线恒过第一象限内的一定点时，必然可得该直线总经过第一象限；(2)直线不过第二象限，即斜率大于0且与y轴的截距不大于0.
解析：(1)方法一 将直线l的方程整理为y－＝
2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第一册 直线方程的1般式 课件
