1．能够通过函数的图象区分函数的极值与最值．2．会求闭区间上函数的最大值、最小值． 1．结合实例培养学生的直观想象素养．2．通过求闭区间上函数的最大值、最小值，培养数学运算素养.
最值点 知识点 1(1)最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]内的最大值点x0指的是：函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都_________ f(x0)．(2)最小值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]内的最小值点x0指的是：函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都_________ f(x0)．(3)函数的_______或在极值点(也是导数的零点)取得，或者在区间的端点取得．不超过不小于最值
练一练：设f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是( )A．f(x)的极值点一定是最值点B．f(x)的最值点一定是极值点C．f(x)在区间[a，b]上可能没有极值点D．f(x)在区间[a，b]上可能没有最值点C
[解析] 根据函数的极值与最值的概念知，f(x)的极值点不一定是最值点，f(x)的最值点不一定是极值点，可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则函数f(x)在区间[a，b]上没有极值点，所以C正确．
最值 知识点 2函数的_________与_________统称为函数的最值．想一想：函数的极值与最值有何区别？ 提示：极值是函数在极值点的一个小领域的性质，最值是函数在定义域上的性质．最大值最小值
练一练：1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)一般地，连续函数f(x)在[a，b]上既有最大值，又有最小值．( )(2)函数的极值可以有多个，但最大(小)值最多只能有一个．( )(3)最大(小)值一定是函数的极大(小)值．( )(4)极大(小)值一定是函数的最大(小)值．( )√√××
A
题|型|探|究 求下列各函数的最值．(1)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]；题型一求函数的最值典例 1[解析] (1)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故当x＝－1时，f(x)min＝－12；当x＝1时，f(x)max＝2.即f(x)的最小值为－12，最大值为2.
[规律方法] 求函数最值的四个步骤：第一步求函数的定义域；第二步求f ′(x)，解方程f ′(x)＝0；第三步列出关于x，f(x)，f ′(x)的变化表；第四步求极值、端点值，确定最值．特别警示：不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．
求下列函数的最值：(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；(2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正实数．[解析] (1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表对点训练❶x－2(－2,0)0(0,2)2(2,4)4f′(x) ＋0－0＋ f(x)－37极大值3极小值－535
已知函数f(x)＝ln x－ax2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a>0时，求f(x)在区间上的最大值．题型二含参数的函数最值问题典例 2
[规律方法] 1.由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论．2．已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
已知函数g(x)＝ex－2ax－b，求g(x)在[0,1]上的最小值．对点训练❷
已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，是否存在实数a，b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．[分析] 若存在a，b满足题设，则可利用导数求最值，列出关于a，b的方程组，从而解出a，b的值．求极值时，要注意对a的符号进行分类讨论，否则容易漏解．题型三由函数的最值求参数的值或范围问题典例 3
[解析] 存在．依题意，显然a≠0，f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．①若a>0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1,0)0(0,2)2f′(x)＋＋0－－f(x)－7a＋b极大值－16a＋b
所以当x＝0时，f(x)取得最大值，所以f(0)＝b＝3.因为f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，所以f(－1)>f(2)，所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即－16a＋3＝－29，解得a＝2.
②若a<0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1,0)0(0,2)2f ′(x)－－0＋＋f(x)－7a＋b极小值－16a＋b
所以当x＝0时，f(x)取得最小值，所以f(0)＝b＝－29.因为f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，所以f(2)>f(－1)，所以当x＝2时，f(x)取得最大值，即－16a－29＝3，解得a＝－2.综上所述，存在符合条件的a，b，且a＝2，b＝3或a＝－2，b＝ －29.
[规律方法] 由函数的最值来确定参数的值或取值范围是利用导数求函数最值问题的逆向运用，这类问题的解题步骤：(1)求导数f′(x)，并求极值．(2)利用单调性，将极值与端点处的函数值进行比较，确定函数的最值．若参数的
2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第二册.函数的最值课件
