2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第三册 7.3离散型随机变量的数字特征7.3.1离散型随机变量的均值 课件

第七章　随机变量及其分布 7.3　离散型随机变量的数字特征7．3.1　离散型随机变量的均值 必备知识•探新知关键能力•攻重难课堂检测•固双基素养目标•定方向 素养目标•定方向  1．通过具体实例，理解离散型随机变量的均值，能计算简单离散型随机变量的均值．2．理解离散型随机变量的均值的性质．3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关问题． 1．通过离散型随机变量的均值的学习，培养数学抽象素养．2．应用随机变量的均值解题，提升数学运算素养. 必备知识•探新知 离散型随机变量的均值 知识点 1(1)定义：一般地，如果离散型随机变量X的分布列如表所示：Xx1x2…xnPp1p2…pn则称E(X)＝____________________________为随机变量X的均值或数学期望(简称为期望)．(2)意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，反映了随机变量取值的___________.(3)性质：如果X和Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则E(Y)＝E(aX＋b)＝_________________.平均水平aE(X)＋b 想一想：离散型随机变量的均值和样本的平均数相同吗？提示：不相同．离散型随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变量，它随样本的不同而变化． 练一练：1．若随机变量X的分布列为C 2．设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝_______.[解析]　E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35.35 两点分布的数学期望 知识点 2如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝_____.练一练：某彩票3D游戏(以下简称3D)，是以一个3位自然数(如：0记作000)为投注号码的彩票．投注者从000～999这些3位自然数中选择一个进行投注，每注2元，如果与官方公布的三位数相同，则视为中奖，获得奖金1 000元，反之则获得奖金0元．某人随机投了一注，他获得奖金的期望是_____元．p1 关键能力•攻重难 已知随机变量X的分布列如下：题|型|探|究题型一离散型随机变量的均值公式及性质典例 1(1)求m的值；(2)求E(X)；(3)若Y＝2X－3，求E(Y)． [规律方法]　若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b(其中a，b为常数)，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y)． (1)设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，则a－b＝( 　　)对点训练❶X0123P0.1ab0.1A.0.2 B．0.1C．－0.2 D．－0.4C (2)已知随机变量X的分布列如表：若ξ＝aX＋3，且E(ξ)＝5，则a的值为________.15 [解析]　(1)由题意得a＋b＋0.1＋0.1＝1，即a＋b＝0.8①.又0×0.1＋a＋2b＋3×0.1 ＝ 1.6，∴a＋2b＝1.3②.②－①，得b＝0.5，∴a＝0.3，∴a－b＝0.3－0.5＝－0.2. 题型二求离散型随机变量的均值 某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，只要某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值．典例 2[解析]　X的取值分别为1,2,3,4.X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(X＝1)＝0.6. X＝2，表明李明第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.X＝3，表明李明第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.所以李明一年内参加考试次数X的分布列为X1234P0.60.280.0960.024所以X的均值为E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544. [规律方法]　关于离散型随机变量的均值(1)如果随机变量服从两点分布，则直接利用两点分布的均值公式计算．(2)一般地，先求出随机变量的分布列，再通过分布列计算随机变量的均值． 在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数ξ的均值．对点训练❷ 题型三均值的实际应用 (全国Ⅰ卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图(如图)：典例 3 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？ [解析]　由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数可能为8,9,10,11，相应的概率分别为0.2,