2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册 第三章 函数的概念与性质 复习课 学案

第三章 章末复习课 构建知识网络 掌握重点题型 题组一函数的概念和表示 1 . 设集合 M ={ x |0≤ x ≤2}, N ={ y |0≤ y ≤2}, 那么下列四个图形中 , 能表示集合 M 到集合 N 的函数关系的有 ( 　　 ) A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③ D . ② 【答案】 C 【详解】由题意 , 函数的定义域为 M ={ x |0≤ x ≤2}, 对于 ① 中 , 函数的定义域不是集合 M , 所以不能构成集合 M 到集合 N 的函数关系 ; 对于 ② 中 , 函数的定义域为集合 M , 值域为集合 N , 所以可以构成集合 M 到集 合 N 的函数关系 ; 对于 ③ 中 , 函数的定义域为集合 M , 值域为集合 N , 所以可以构成集合 M 到集合 N 的函数关系 ; 对于 ④ 中 , 集合 M 中的元素在集合 N 中对应两个函数值 , 不符合函数的定义 , 所以不正确 . 2 . (2023· 宁波镇海中学期末 ) 已知 f ( x )= , 则 f (3)= ( 　　 ) A.3 B.5 C.7 D . 9 【答案】 B 【详解】 f (3)= f (2)=2×2+1=5 . 3 . 已知 f ( +2)= x +4 , 求函数 f ( x ) 的解析式 . 【详解】令 t = +2≥2, 则 x =( t -2) 2 , 所以 f ( t )=( t -2) 2 +4 = t 2 -4, 故 f ( x )= x 2 -4 且 x ∈ [2,+∞) . 【 技法点拨 】 1 . 关于函数的概念 关键把握函数概念中 “ 任意 ”“ 唯一确定 ” 的意义 , 会求函数的三要素 . 2 . 关于函数的表示 函数的三种表示法中 , 图象法和解析法为重点 . 除了会作常见函数、分段函数的图象外 , 数形结合也是分析、解决问题的重要方法 ; 熟练掌握解析法常用的三种方法 : 待定系数法、换元法、解方程组法 . 题组二函数的基本性质 1 . 已知偶函数 f ( x ) 在区间 [0,+∞) 上单调递增 , 则满足 f (2 x -1)< f ( ) 的 x 的取值范 围是 ( 　　 ) A. ( , ) B. [ , ) C. ( , ) D. [ , ) 【答案】 A 【详解】因为偶函数 f ( x ) 在区间 [0,+∞) 上单调递增 , 所以 f ( x ) 在区间 (-∞,0) 上单调递减 , 故 x 越靠近 y 轴 , 函数值越小 , 因为 f (2 x -1)< f ( ) , 所以 |2 x -1|< , 解得 : < x < . 2 . 已知函数 f ( x )=2 x - 的图象过点 P (1,1) . (1) 求实数 m 的值 , 并证明函数 f ( x ) 为奇函数 ; (2) 判断函数 f ( x ) 在 (0,+∞) 上的单调性 , 并用定义证明你的结论 . 【详解】 (1) 根据题意 , 函数 f ( x )=2 x - 的图象过点 P (1,1), 则有 1=2- m , 解得 m =1, 则 f ( x )=2 x - , 其定义域为 { x | x ≠0}, 且 f (- x )=2(- x )- =- ( 2 x - ) =- f ( x ), 则函数 f ( x ) 为奇函数 . (2) 根据题意 , 由 (1) 的结论 , f ( x )=2 x - 在 (0,+∞) 上为增函数 . 证明如下 : 设 0< x 1 < x 2 , 则 f ( x 1 )- f ( x 2 )= ( 2 x 1 - ) - ( 2 x 2 - ) =( x 1 - x 2 ) ( ) , 又由 0< x 1 < x 2 , 则 x 1 - x 2 <0, 则 f ( x 1 )- f ( x 2 )<0, 则函数 f ( x ) 在 (0,+∞) 上为增函数 . 【 技法点拨 】 1 . 奇偶性的应用 (1) 函数奇偶性的判断 判断的依据是奇偶性的定义 , 前提是定义域关于原点对称 . 也可以结合特殊值、图象等方法进行判断 . (2) 关于奇偶性的应用 函数奇偶性的应用主要体现在图象、解析式与单调性的关系三个方面 . 解题时往往先利用奇偶性进行转化 , 再结合单调性等函数的性质解题 . 2 . 函数的单调性与最值 (1) 判断函数的单调性时可以根据观察自变量变大时 , 函数值的变化情况进行判断 , 也可以利用函数的图象直观判断 ; (2) 证明函数单调性的关键是对差式 f ( x 1 )- f ( x 2 ) 进行变形 , 只有变形到位 ( 一般到积或商的形式 ), 才能准确判断差式的符号 . (3) 关于函数的最值 一般的方法是先证明或判断函数的单调性 , 再利用单调性求最值 . 题组三函数的应用 1 . 某小型雨衣厂生产某种雨衣 , 售价 P ( 元 / 件 ) 与月销售量 x ( 件 ) 之间的关系为 P =160-2 x , 生产 x 件的成本 R =500+30 x. 若每月获得的利润 y 不少于 1 300 元 , 则该厂的月销售量 x 的取值范围为 　　　　　　 .  【答案】 [20,45] 【详解】由题意 , 得 y =(160-2 x )· x -(500+30 x )=-2 x 2 +130 x -500(0< x <80) . 由题意知 ,-2 x 2 +130 x -500≥1 300, 解得 20≤ x ≤45 . 所以当月销售量在 20 件至 45 件 ( 包括 20 和 45) 之间时 , 每月获得的利润不少于 1 300 元 . 2 . 某上市股票在 30 天内每股的交易价格 P ( 元 ) 与时间 t ( 天 ) 组成有序数对 ( t , P ), 点 ( t , P ) 落在如图所示的两条线段上 . 该股票在 30 天内 ( 包括 30 天 ) 的日交易量 M ( 万股 ) 与时间 t ( 天 ) 的部分数据如表所示 : 第 t 天 6 13 20 27 M/ 万股 34 27 20 13 (1) 根据提供的图象 , 求该股票每股交易价格 P ( 元 ) 与时间 t ( 天 ) 所满足的函数解析式 ; (2) 根据表中数据 , 求日交易量 M ( 万股 ) 与时间 t ( 天 ) 的一次函数解析式 ; (3) 用 y ( 万元 ) 表示该股票日交易额 , 写出 y 关于 t 的函数解析式 , 并求在这 30 天内第几天日交易额最大 , 最大值为多少 ? 【详解】 (1) 当 0≤ t <20 时 , 设函数解析式为 P = at + b , 把点 (0,2) 和 (10,4) 代入得 解得 所以 P = t +2; 把 t =20 代入 P = t +2, 解得 P =6, 设函数解析式为 P =