【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)y=Asin(ωx+φ)的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形. ( )(2)在y=Asin(ωx+φ)的图象中,相邻的两条对称轴的距离为1个周期. ( )(3)函数y=sin 的图象对称轴为x= (k∈Z). ( )(4)函数f(x)=sin 的图象的对称中心是 (k∈Z). ( )
提示:(1)√.(2)×.相邻两条对称轴之间的距离为半个周期.(3)√.由2x+ =kπ+ 得x= ,k∈Z.(4)×.x+ =kπ得x=kπ- ,k∈Z.
2.函数y=2sin 的周期、振幅依次是 ( ) A.4π,-2 B.4π,2C.π,2 D.π,-2【解析】选B.振幅为2,周期为 =4π.
3.(教材二次开发:例题改编)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最大值是3,最小正周期是 ,初相是 ,则这个函数的解析式是______________. 【解析】由函数的最大值是3,得A=3.由函数的最小正周期是 得 = ,解得ω=7.由初相是 得φ= .答案:y=3sin
关键能力·合作学习类型一 “五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象(直观想象、数学运算)【典例】用“五点法”作函数y=2sin +3的图象,并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间、对称轴方程.【思路导引】先确定一个周期内的五个关键点,画出一个周期的图象,左、右扩展可得图象,然后根据图象求性质.
【解析】①列表:
②描点连线作出一周期的函数图象.③把此图象左、右扩展即得y=2sin +3的图象.
由图象可知函数的定义域为R,值域为[1,5],周期为T= =2π,频率为f= ,初相为φ=- ,最大值为5,最小值为1.令2kπ- ≤x- ≤2kπ+ (k∈Z)得原函数的增区间为 (k∈Z).令2kπ+ ≤x- ≤2kπ+ ,(k∈Z)得原函数的减区间为 (k∈Z).令x- =kπ+ (k∈Z)得原函数的对称轴方程为x=kπ+ π(k∈Z).
【解题策略】1.用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的图象,应先令ωx+φ分别为0, ,π, ,2π,然后解出自变量x的对应值,作出一周期内的图象.2.求y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,首先把x的系数化为正值,然后利用整体代换,把ωx+φ代入相应不等式中,求出相应的变量x的范围.
【跟踪训练】作出函数y= sin 在x∈ 上的图象.【解析】令X=2x- ,列表如下:
描点连线得图象如图所示.
类型二 已知图象求y=Asin(ωx+φ) 的解析式 (直观想象、数学运算) 【典例】如图所示的是函数y=Asin(ωx+φ) 的图象,确定其函数解析式.
【思路导引】先根据图象求A,ω,最后再求φ.【解析】由题图知A=3,T=π,又图象过点 ,所以所求图象由y=3sin 2x的图象向左平移 个单位得到,所以y=3sin 2 ,即y=3sin .
【解题策略】确定函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的解析式的策略(1)一般可由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.(2)因为T= ,所以往往通过求周期T来确定ω.(3)可以从寻找“五点法”中的第一个“零点”ωx+φ=0作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个“零点”的位置来确定φ.也可以从相邻的最高点的ωx+φ= 或最低点的ωx+φ= 来求解φ.
【跟踪训练】已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的函数图象如图所示,求函数的一个解析式.
【解析】方法一:由图象可知函数的最大值为 ,最小值为- ,因为A>0,所以A= .由图象知 ,所以T=π= ,所以ω=2.又 ,所以图象上的最高点的坐标为 ,所以 = sin ,即sin =1,可取φ=- ,故函数的一个解析式为y= sin .
方法二:由图象可知A= ,又图象过点 , 根据五点法作图原理,以上两点可判断为五点法作图中的“第一点”与“第三点”,则有 解得 故函数的一个解析式为y= sin .
类型三 函数y=Asin(ωx+φ)的性质的应用 (直观想象、数学运算)角度1 求最值 【典例】函数y=-2sin +1的最大值为________,取得最大值时x=_____. 【思路导引】利用正弦函数的最大值及取得最大值时的x值代入求解.【解析】ymax=-2×(-1)+1=3,令2x- =- +2kπ,k∈Z,解得x=- +kπ,k∈Z.答案:3 - +kπ,k∈Z
【变式探究】本例中,试求函数的最小值及取得最小值时x的值.【解析】ymin=-2×1+1=-1,令2x- = +2kπ,k∈Z,解得x= +kπ,k∈Z.
角度2 求单调区间 【典例】函数y= sin 的单调递减区间是________,在区间 上的单调减区间是________. 【思路导引】先由诱导公式将x的系数变为正,再代入正弦函数单调区间解出x.
【解析】函数y= sin =- sin ,令- +2kπ≤3x- ≤ +2kπ,k∈Z,解得- ≤x≤ ,k∈Z.令k=0得, ;令k=1得 .所以在区间 上的单调减区间为 和 .答案: ,(k∈Z),
【解题策略】求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间的步骤(1)利用诱导公式将x的系数变正;(2)将ωx+φ看作整体,代入正弦函数相应的单调区间中,解出x的范围,并写成区间的形式;(3)写单调区间时不要漏掉k∈Z.
【题组训练】1.函数y=2-3sin 的最大值为________,确定最大值时x=________. 【解析】ymax=2+3=5,令2x- =- +2kπ,k∈Z,解得x=- +kπ,k∈Z.答案:5 - +kπ,k∈Z
2023-2024学年高中数学北师大版必修第二册 探究A对y=Asin(ωx φ)的图象的影响 (课件)
