目录CONTENTS01读教材·知识梳理0302研题型·典例精析扣课标·素养提升
下雨天，当我们将雨伞转动时，伞面边沿的水滴沿着伞的切线方向飞出．实际上物体(看作质点)做曲线运动时，运动方向在不停地变化，其速度方向为质点在其轨迹曲线上的切线方向，我们可以利用导数研究曲线的切线问题．
1．若函数y＝f(x)在点x0处的导数存在，则曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是什么？提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).2．曲线的切线与曲线有且只有一个公共点吗？提示：不一定．二次曲线与其切线有且只有一个公共点，与其他曲线可能会有其他交点，只是在x＝x0附近有且只有一个公共点，而直线在某点处切线就是该直线．
B
A3．抛物线y2＝x与x轴，y轴都只有一个公共点，在x轴和y轴这两条直线中，只有________是它的切线．解析：由切线的定义可知y轴是抛物线y2＝x的切线．y轴
题型一 求曲线的切线方程【例1】 (链接教科书例4)已知函数f(x)＝x3，求曲线y＝f(x)在(1，f(1)) 处切线的斜率与方程．
1．(变设问)本例条件不变，试问例题中的切线与曲线y＝f(x)是否还有其他的公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由．
(3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率；(4)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k；(5)根据点斜式写出切线方程；(6)将切线方程化为一般式．
题型二 求切点坐标【例2】 已知抛物线y＝f(x)＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标．(1)切线的倾斜角为45°；
(2)切线平行于直线4x－y－2＝0；解 ∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，∴切点坐标为(1，3).(3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0.解 ∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，∴切点坐标为(2，9).
|通性通法|求切点坐标的步骤(1)设出切点坐标；(2)利用导数或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
题型三 导数几何意义的应用【例3】 如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t＝t0，t1，t2附近的变化情况．解 我们用曲线h(t)在t＝t0，t1，t2处的切线斜率，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况．(1)当t＝t0时，曲线h(t)在t＝t0处的切线l0平行于t轴，h′(t0)＝0.这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．
(2)当t＝t1时，曲线h(t)在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)＜0.这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t1附近单调递减．(3)当t＝t2时，曲线h(t)在t＝t2处的切线l2的斜率h′(t2)＜0.这时，在t＝t2附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t2附近也单调递减．从图可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t＝t1附近比在t＝t2附近下降得缓慢．
A
C
3
A
B
3．已知曲线y＝x2＋1上一点A(－1，2)，则点A处的切线方程为 ( )A．2x－y＝0 B．2x＋y＝0C．x－y＋2＝0 D．x＋2y－3＝0B
4．(多选)设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为 ( )A.(1，0) B．(2，8) C．(－1，－4) D．(－2，－12)AC
D
6．已知函数f(x)＝x3－x，则曲线y＝f(x)过点(1，0)的切线条数为 ( )A．3 B．2 C．1 D．0B
7．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________．解析：由图象可知f(5)＋f′(5)＝(－5＋8)＋(－1)＝2.2
8．设f(x)是偶函数，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为________．解析：由偶函数的图象关于y轴对称，可知曲线在点(－1，f(－1))处的切线的斜率应为－1.－1
10．已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切 点的坐标．
CD
2
A
15．已知曲线y＝f(x)＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
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2023-2024学年人教B版高中数学选择性必修第三册 6.1.2 第二课时 导数的几何意义 课件
