1.4.2 向量线性运算的坐标表示
新知初探·课前预习题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
教材要点要点一 平面向量加、减、数乘运算的坐标表示 文字叙述符号表示加法两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝________________减法两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝________________数乘一个实数与向量的积的坐标等于这个实数乘以向量相应的坐标若a＝(x，y)，则λa＝__________向量的坐标一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx，λy)
状元随笔 (1)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系，即两向量的坐标相同时，两个向量相等，但它们的起点和终点的坐标却不一定相同．例如，若A(3，5)，B(6，8)，C(－5，3)，D(－2，6)，则＝(3，3)，＝(3，3)，显然＝，但A，B，C，D各点的坐标都不相同．(2)运算时，注意向量的起点与终点的顺序不要颠倒．
要点二 中点坐标公式已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若P是线段P1P2的中点，则点P的坐标为____________．要点三 向量共线的坐标表示a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)向量a，b(b≠0)共线的充要条件是____________． x1y2－x2y1＝0
状元随笔 已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，(1)当≠0→时，＝λ.这是几何运算，体现了向量与的长度及方向之间的关系．(2)x1y2－x2y1＝0.这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．
基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( )(2)向量的坐标就是向量终点的坐标．( )(3)在平面直角坐标系中，两个相等向量的坐标相同．( )(4)点的坐标与向量的坐标相同．( )××√×
2．已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a等于( )A．(－2，1) B．(2，－1) C．(2，0) D．(4，3)答案：B解析：b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)．
3．已知M(2，3)，N(3，1)，则的坐标是( )A．(2，－1) B．(－1，2) C．(－2，1) D．(1，－2) 答案：B解析：＝(2－3，3－1)＝(－1，2)．
4．已知A(1，2)，B(4，5)．若＝2，则点P的坐标为________． (3，4)解析：设P(x，y)，所以＝(x－1，y－2)，＝(4－x，5－y)，又＝2，所以(x－1，y－2)＝2(4－x，5－y)，即解得
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题型 1 平面向量线性运算的坐标表示例1 已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n. 解析：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴解得∴实数m的值为－1，n的值为－1.
方法归纳(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外，解题过程中要注意方程思想的运用．(2)利用向量的坐标运算解题，主要根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解．
跟踪训练1 (1)已知向量a＝，a＋3b＝(5，－3)，则b＝( )A．(－3，2) B．(3，－2)C．(3，0) D．(9，6) 答案：B解析：设b＝(m，n)，因为a＝(－4，3)，所以a＋3b＝(－4，3)＋3(m，n)＝(－4＋3m，3＋3n)，又a＋3b＝(5，－3)，所以，解得m＝3，n＝－2.故b＝(3，－2)．
(2)设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于( )A．(1，－1) B．(－1，1)C．(－4，6) D．(4，－6)答案：D解析：因为向量4a，3b－2a，c对应的有向线段首尾相接能构成三角形，所以4a＋3b－2a＋c＝0，故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2，4)＝(4，－6)．
题型 2 平面向量坐标运算的应用例2 如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，用向量的方法证明：DE∥BC.
证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系．设||＝1，则||＝1，||＝2.因为CE⊥AB，而AD＝DC，所以四边形AECD为正方形，从而可求得各点坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1)．又因为＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)，＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，所以＝，因此∥，即DE∥BC.
方法归纳建立直角坐标系，利用平面向量线性运算的坐标表示将几何问题转化为代数问题，可以很容易地解决一些平面几何问题．
跟踪训练2 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点P为CD的中点，点Q在BC上，且BQ＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求的值．
解析：如图，分
2023-2024学年湘教版高中数学必修第二册 1.4向量的分解与坐标表示1.4.2向量线性运算的坐标表示 课件
