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放缩技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
一、裂项放缩
例1.(1)求
的值; (2)求证:
.
解析
:(
1)因为
,所以
(2)因为
,所以
奇巧积累:(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(15)
例2.(1)求证:
(2)求证:
(3)求证:
(4) 求证：
解析:(1)因为
,所以
(2)
(3)先运用分式放缩法证明出
,再结合
进行裂项,最后就可以得到答案
(4)首先
,
所以容易经过裂项得到
再证
而由均值不等式知道这是显然成立的，所以
例3.求证:
解析:一方面:因为
,所以
另一方面:
当
时,
,当
时,
,
当
时,
,所以综上有
例4.(全国一卷) 设函数
.数列
满足
.
.设
，整数
.证明:
.
解析:由数学归纳法可以证明
是递增数列,故存在正整数
,使
,则
,否则若
,则由
知
,
,因为
,
于是
例5.已知
,求证:
.
解析:首先可以证明:
所以要证
只要证:
故只要证
,即等价于
,即等价于
而正是成立的,所以原命题成立.
例6.已知
,
,求证:
.
解析:
所以
从而
例
7
.
已知
,
,求证:
证明:
,因为
,所以
所以
二、函数放缩
例
8
.求证：
.
解析:先构造函数有
,从而
因为
所以
例
9
.求证:(1)
解析:构造函数
,得到
,再进行裂项
,求和后可以得到答案
函数构造形式:
,
例
10
.求证:
解析:提示:
函数构造形式:
当然本题的证明还可以运用积分放缩
如图,取函数
,
首先:
,从而,
取
有,
,
所以有
,
,…,
,
,相加后可以得到:
另一方面
,从而有
取
有,
,
所以有
,所以综上有
例
11
.求证:
和
.
解析:构造函数后即可证明
例
1
2
.求证:
解析:
,叠加之后就可以得到答案
函数构造形式:
(加强命题)
例
1
3
.证明:
解析:构造函数
,求导,可以得到:
,令
有
,令
有
,
所以
,所以
,令
有,
所以
,所以
例1
4
. 已知
证明
.
解析:
,
然后两边取自然对数,可以得到
然后运用
和裂项可以得到答案)
放缩思路：
。于是
，
即
注：题目所给条件
（
）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论
来放缩：
，
即
例1
5
.(厦门市质检) 已知函数
是在
上处处可导的函数,若
在
上恒成立.
(
I
)求证：函数
上是增函数；
(
II
)当
；
(
III
)已知不等式
时恒成立，
求证：
解析:(
I
)
,所以函数
上是增函数
(
II
)因为
上是增函数,所以
两式相加后可以得到
(3)
……
相加后可以得到:
所以
令
,有
所以
(方法二)
所以
又
,所以
例1
6
.(福州市质检)
已知函数
若
解析:
设函数
∴函数
）上单调递增，在
上单调递减.
∴
的最小值为
，即总有
而
即
令
则
三、分式放缩
姐妹不等式:
和
记忆口诀”小者小,大者大”
解释:看
b
,若
b
小,则不等号是小于号,反之.
例1
9
. 姐妹不等式:
和
也可以表示成为
和
解析:
利用假分数的一个性质
可得
即
例
20
.证明:
解析: 运用两次次分式放缩:
(加1)
(加2)
相乘,可以得到:
所以有
四、分类放缩
例
21
.求证:
解析:
例
22
.(全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系
中,
轴正半轴上的点列
与曲线
（
≥0）上的点列
满足
，直线
在
x
轴上的截距为
.点
的横坐标为
,
.
(1)证明
>
>4，
; (2)证明有
，使得对
都有
<
.
解析:(1) 依题设有：
，由
得：
,又直线
在
轴上的截距为
满足
显然，对于
，有
(2)证明：设
，则
设
，则当
时，
。
所以，取
，对
都有：
故有
<
成立。
例
23
.(泉州市高三质检) 已知函数
，若
的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列
满足
，记数列
的前
项和为
，问是否存在正常数
A
，使得对于
放缩法（全技巧方法总结专题）高考数学备考指南系列1
