新知初探·课前预习
[教材要点]要点一 直线与椭圆的位置关系设直线与椭圆方程分别为：y＝kx＋m与＝1联立方程组，消去y得：(b2＋a2k2)x2＋2kma2x＋a2(m2－b2)＝0.(1)Δ>0⇔方程组有两解⇔________⇔________；(2)Δ＝0⇔方程组有一解⇔________⇔________；(3)Δ<0⇔方程组无解⇔________⇔________． 两个交点相交一个交点相切无交点相离
要点二 直线与双曲线的位置关系设直线与椭圆方程分别为：y＝kx＋m与＝1联立方程组，消去y得(b2－a2k2)x2－2kma2x＋a2(m2＋b2)＝0.1．二次项系数为0时，直线与双曲线的渐近线平行或重合．重合：无交点；平行：有一个交点．2．二次项系数不为0时，上式为一元二次方程．3．(1)Δ>0⇔直线与双曲线________；(2)Δ＝0⇔直线与双曲线________；(3)Δ<0⇔直线与双曲线________． 相交相切相离
要点三 直线与抛物线的位置关系相交相切相离
[基础自测]1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)直线与椭圆的位置关系有相交、相切、相离三种情况．( )(2)直线与双曲线有一个公共点，则直线与双曲线相切．( )(3)直线与抛物线有一个公共点，则直线与抛物线相切．( )(4)过定点P(0，1)作与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线，共可作3条．( )√××√
2．直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是( )A．相离 B．相切C．相交 D．无法确定 解析：联立消去y，得3x2＋2x－1＝0，Δ＝22＋12＝16>0，∴直线与椭圆相交．故选C. 答案：C
3．直线x＋2y＝m与椭圆＋y2＝1只有一个交点，则m的值为( )A．2 B．± C．±2 D．±2 解析：由消去y并整理得2x2－2mx＋m2－4＝0.由Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，得m2＝8.∴m＝±2.故选C. 答案：C
4．直线l过点P(－2，4)，且与抛物线y2＝－8x有且只有一个公共点，这样的直线有________条．解析：由题意可知点P在抛物线上，过抛物线上一点可做一条切线，以及垂直于准线的一条直线，与抛物线只有一个公共点，共2条．答案：2
题型探究·课堂解透
题型一 直线与椭圆的交点问题例1 (1)已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )A．相交 B．相切C．相离 D．相切或相交 解析：把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，得＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0.∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，∴直线与椭圆相离． 答案：C
(2)直线y＝kx－k＋1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆＝1总有公共点，则m的取值范围是________． 答案：[，5) 解析：直线y＝k(x－1)＋1恒过定点P(1，1)，直线与椭圆总有公共点等价于点P(1，1)在椭圆内或在椭圆上．所以≤1，即m≥，又0<m<5，故m∈[，5)．
方法归纳直线与椭圆的位置关系判断判断直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用．
跟踪训练1 判断直线y＝2x－2与椭圆＝1是否有公共点，如有，求出公共点的坐标． 解析：联立直线与椭圆的方程，可得方程组，解方程组可得或，因此直线与椭圆有两个公共点，且公共点的坐标为(0，－2)，.
题型二 直线与双曲线的交点问题例2 过点P(1，1)与双曲线＝1只有一个交点的直线有多少条？ 解析：利用图象定性解决(1)直线与双曲线相切，有两条．(2)直线与渐近线平行，有两条．所以过点P(1，1)与双曲线＝1只有一个交点的直线共有4条．
变式探究 将本例中的点(1，1)改为(1)A(3，4)，(2)B(3，0)，(3)C(4，0)，(4)D(0，0)结果又是怎样的？解析：(1)过A点有两条：垂直于x轴一条，平行于另一条渐近线1条．(2)过B点有1条：垂直于x轴一条．(3)过C点有两条：平行于两条渐近线各有一条．(4)过D点的没有．
方法归纳直线与双曲线的位置关系的判断方法1．代数法将直线方程与双曲线方程联立，方程组的解的组数就是直线与双曲线交点的个数．联立得方程组，消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2项或y2项的系数是否为零，否则容易漏解．2．数形结合法判断直线与双曲线的交点情况时，可以根据双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系，确定直线与双曲线的位置关系．
跟踪训练2 直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A，B，则实数k的取值范围为________．解析：联立方程组 得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0则解得－2<k<－. 答案：(－2，－)
题型三 直线与抛物线的交点问题例3 在抛物线y2＝64x上求一点，使它到直线l：4x＋3y＋46＝0的距离最短，并求此距离．
解析：方法一 设抛物线上一点P(x0，y0)则点P到直线l的距离为：d＝＝又代入上式得：d＝＝＝∴当y0＝－24时，dmin＝2此时P(9，－24)，最短距离为2.
方法二 设直线4x＋3y＋m＝0与抛物线相切．由得＋3y＋m＝0由Δ＝0得m＝36.此时解得y＝－24.∴x＝9所以所求点为(9，－24)．最短距离为d＝＝＝2.
方法归纳求抛物线上的点到直线的距离最短的策略1．先在抛物线上设一点，再利用点到直线的距离与二次函数知识求解；2．根据已知直线设与抛物线相切的直线，联立方程组由Δ求得所设直线
2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第一册 直线与圆锥曲线的交点 课件
