2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册 1.1.2 空间向量的数量积运算 学案

1 ． 1.2 　空间向量的数量积运算 课程标准 掌握空间向量的数量积运算． 学法解读 1 ．理解空间两个向量夹角的定义． ( 直观想象 ) 2 ．掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律，会求空间向量的数量积． ( 数学运算 ) 3 ．能够运用空间向量的数量积解决夹角与距离问题． ( 数学运算 ) 知识点 1 　空间向量的夹角 1 ．定义：已知两个非零向量 a ， b ，在空间任取一点 O ，作 ＝ a ， ＝ b ，则 _ ∠ AOB __ 叫做向量 a ， b 的夹角，记作〈 a ， b 〉． 2 ．夹角的范围： 空间任意两个向量的夹角 θ 的取值范围是 [0 ， π] ．特别地，当 θ ＝ 0 时，两向量 同向共线　 ；当 θ ＝ π 　 时，两向量 反向共线　 ，所以若 a ∥ b ，则〈 a ， b 〉＝ 0 或 π ；当〈 a ， b 〉＝ 时，两向量 垂直　 ，记作 a ⊥ b 　 . 做一做：如图所示，在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， (1) 〈 ， 〉＝ 　 ； (2) 〈 ， 〉＝ 　 ； (3) 〈 ， 〉＝ π 　 . [ 解析 ] 　 (1) 〈 ， 〉＝〈 ， 〉＝ ； (2) 〈 ， 〉＝〈 ， 〉＝ π －〈 ， 〉＝ ； (3) 〈 ， 〉＝〈 ， 〉＝ π. 知识点 2 　空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量 a ， b ，则 | a || b |cos 〈 a ， b 〉叫做 a ， b 的数量积，记作 a · B ． 即 a · b ＝ | a || b |cos 〈 a ， b 〉　 规定：零向量与任何向量的数量积都为 0 性质 ① a ⊥ b ⇔ a · b ＝ 0 　 ② a · a ＝ a 2 ＝ | a | 2 运算律 ① ( λ a )· b ＝ λ ( a · b ) ， λ ∈ R ② a · b ＝ b · a ( 交换律 ) ③ a ·( b ＋ c ) ＝ a · b ＋ a · c ( 分配律 ) 思考 2 ：若 a ， b ， c 为实数，则 ( a · b )· c ＝ a ·( b · c ) ．是否可以由此类比得出，对于向量 a ， b ， c ，满足 ( a · b )· c ＝ a ·( b · c )? 提示：数量积的运算只满足交换律，分配律及数乘结合律，但不满足乘法结合律，即 ( a · b )· c 不一定等于 a ·( b · c ) ．这是由于 ( a · b )· c 表示一个与 c 共线的向量，而 a ·( b · c ) 表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一定共线． 做一做：正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长等于 2 ，则 · ＝ 4 　 . [ 解析 ] 　 | | ＝ | | ＝ 2 ，〈 ， 〉＝ 60° ， 所以 · ＝ | || |cos 60° ＝ 2 × 2 × ＝ 4. 知识点 3 　向量 a 的投影 1 ．向量 a 与向量 b 的投影 如图 (1) ，在空间，向量 a 向向量 b 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面 α 内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量 b 共线的向量 c ， c ＝ | a |cos 〈 a ， b 〉 　 ，向量 c 称为向量 a 在向量 b 上的投影向量．类似地，可以将向量 a 向直线 l 投影 ( 如图 (2)) ． 2 ．向量 a 在平面 β 上的投影 如图 (3) ，向量 a 向平面 β 投影，就是分别由向量 a 的起点 A 和终点 B 作平面 β 的垂线，垂足分别为 A ′ ， B ′ ，得到 ，向量 称为向量 a 在平面 β 上的投影向量．这时，向量 a ， 的夹角就是向量 a 所在直线与平面 β 所成的角． 做一做：判断正误 ( 正确的打 “√” ，错误的打 “×” ) (1) 向量 a 在向量 b 上的投影向量与向量 b 的方向相同． ( × ) (2) 向量 a 在直线 l 上的投影向量 c 与向量 a － c 垂直． ( √ ) (3) 向量 a 在平面 β 上的投影向量为 c ，则向量 a 所在直线与平面 β 所成的角为〈 a ， c 〉． ( √ ) 提示： (1) 当〈 a ， b 〉 > 时，反向． (2) 根据向量向直线的投影定义可知， c 与 a － c 垂直． (3) 根据向量向平面的投影定义及直线与平面所成的角的定义可知正确． 题型探究　　 题型一　求空间向量的数量积 典例 1 (1) 已知向量 a 和 b 的夹角为 120° ，且 | a | ＝ 2 ， | b | ＝ 5 ，则 (2 a － b )· a 等于 ( D ) A ． 12 　　　 B ． 8 ＋ C ． 4 　　　 D ． 13 (2) 已知长方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， AB ＝ AA 1 ＝ 2 ， AD ＝ 4 ， E 为侧面 AB 1 的中心， F 为 A 1 D 1 的中点．试计算： ① · ； ② · ； ③ · . [ 解析 ] 　 (1)(2 a － b )· a ＝ 2 a 2 － b · a ＝ 2| a | 2 － | a || b |cos 120° ＝ 2 × 4 － 2 × 5 × ＝ 13. (2) 如图，设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ， 则 | a | ＝ | c | ＝ 2 ， | b | ＝ 4 ， a · b ＝ b · c ＝ c · a ＝ 0. ① · ＝ b · ＝ | b | 2 ＝ 4 2 ＝ 16. ② · ＝ ·( a ＋ c ) ＝ | c | 2 － | a | 2 ＝ 2 2 － 2 2 ＝ 0. ③ · ＝ · ＝ ( － a ＋ b ＋ c )· ＝－ | a | 2 ＋ | b | 2 ＝ 2. [ 规律方法 ] 　空间向量的数量积运算方法 1 ．已知 a ， b 的模及 a 与 b 的夹角，直接代入数量积的公式计算．如果求的是关于 a 与 b 的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用 a · a ＝ | a | 2 及数量积公式进行计算． 2 ．在几何体中求空间向量的数量积的步骤： (1) 将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； (2) 利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积； (3) 根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模； (4) 代入公式 a · b