2023年天津市高考数学试卷（全解析版）

2023 年天津市高考数学试卷 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 ．已知集合 ， 2 ， 3 ， 4 ， ， ， ， ， 2 ， ，则 　　 A ． ， 3 ， B ． ， C ． ， 2 ， D ． ， 2 ， 4 ， 2 ．“ ”是“ ”的 　　 A ．充分不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3 ．若 ， ， ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 4 ．函数 的图象如图所示，则 的解析式可能为 　　 A ． B ． C ． D ． 5 ．已知函数 的一条对称轴为直线 ，一个周期为 4 ，则 的解析式可能为 　　 A ． B ． C ． D ． 6 ．已知 为等比数列， 为数列 的前 项和， ，则 的值为 　　 A ． 3 B ． 18 C ． 54 D ． 152 7 ．调查某种花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数 ，下列说法正确的是 　　 A ．花瓣长度和花萼长度没有相关性 B ．花瓣长度和花萼长度呈现负相关 C ．花瓣长度和花萼长度呈现正相关 D ．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 0.8245 8 ．在三棱锥 中，线段 上的点 满足 ，线段 上的点 满足 ，则三棱锥 和三棱锥 的体积之比为 　　 A ． B ． C ． D ． 9 ．双曲线 的左、右焦点分别为 ， ．过 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 ．已知 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为 　　 A ． B ． C ． D ． 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分． 10 ．已知 是虚数单位，化简 的结果为 　　 ． 11 ．在 的展开式中， 项的系数为 　　 ． 12 ．过原点的一条直线与圆 相切，交曲线 于点 ，若 ，则 的值为 　　 ． 13 ．甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为 ．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为 ， ， ．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 　　 ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 　　 ． 14 ．在 中， ， ，点 为 的中点，点 为 的中点，若设 ， ，则 可用 ， 表示为 　　 ；若 ，则 的最大值为 　　 ． 15 ．若函数 有且仅有两个零点，则 的取值范围为 　　 ． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16 ．（ 14 分）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ， ， ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的值； （Ⅲ）求 的值． 17 ．（ 15 分）在三棱台 中，若 平面 ， ， ， ， ， 分别为 ， 中点． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求平面 与平面 所成角的余弦值； （Ⅲ）求点 到平面 的距离． 18 ．（ 15 分）设椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，右焦点为 ，已知 ， ． （Ⅰ）求椭圆方程及其离心率； （Ⅱ）已知点 是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线 交 轴于点 ，若△ 的面积是△ 面积的二倍，求直线 的方程． 19 ．（ 15 分）已知 是等差数列， ， ． （Ⅰ）求 的通项公式和 ； （Ⅱ）已知 为等比数列，对于任意 ，若 ，则 ． 当 时，求证： ； 求 的通项公式及其前 项和． 20 ．（ 16 分）已知函数 ． （Ⅰ）求曲线 在 处的切线斜率； （Ⅱ）当 时，求证： ； （Ⅲ）证明： ． ———————————————————————————————————— ———————————————————————————————————— 2023 年天津市高考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 ．已知集合 ， 2 ， 3 ， 4 ， ， ， ， ， 2 ， ，则 　　 A ． ， 3 ， B ． ， C ． ， 2 ， D ． ， 2 ， 4 ， 【解析】：解法一： ， 2 ， 3 ， 4 ， ， ， ， ， 2 ， ， 则 ， ，故 ， 3 ， ．故选： ． 解法二：【杨飞老师补解】因为 ，可排除 C 选项和 D 选项； ，可排除 B ，故选 A. 2 ．“ ”是“ ”的 　　 A ．充分不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【解析】： ，即 ，解得 或 ， ，即 ，解得 ， 故“ ”不能推出“ ”，充分性不成立， “ ”能推出“ ”，必要性成立， 故“ ”是“ ”的必要不充分条件．故选： ． 3 ．若 ， ， ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 【解析】：考察指数函数 ，在 上单调递增， ，故 ，所以 ， 考察幂函数 ，在 ， 上单调递增， ，故 ，即 ，所以 ．故选： ． 4 ．函数 的图象如图所示，则 的解析式可能为 　　 A ． B ． C ． D ． 【解析】：由图象可知， 图象关于 轴对称，为偶函数，故 错误， 当 时， 恒大于 0 ，与图象不符合，故 错误．故选： ． 5 ．已知函数 的一条对称轴为直线 ，一个周期为 4 ，则 的解析式可能为 　　 A ． B ． C ． D ． 【解析】：解法一： ：若 ，则 ， 令 ， ，则 ， ，显然 不是对称轴，不符合题意； ：若 ，则 ， 令 ， ，则 ， ， 故 是一条对称轴， 符合题意； ，则 ，不符合题意； ，则 ，不符合题意． 故选： ． 解法二：【杨飞老师补解】因为函数 和函数 的周期均为 ，可排除 C 选项和 D 选项；又函数 和函数 在对称轴处均取得最值，可将将 代入 ，可排除 A ，故选 B. 6 ．已知 为等比数列， 为数列 的前 项和， ，则 的值为