2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 6.4.1　平面几何中的向量方法6.4.2　向量在物理中的应用举例（学案）

6.4 　 平面向量的应用 6.4.1 　 平面几何中的向量方法 6.4.2 　 向量在物理中的应用举例 新课程标准解读 核心素养 1. 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题 数学建模 2. 体会向量在解决数学和实际问题中的作用 数学运算、逻辑推理 　　 在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一桶水，两人手臂夹角越小越省力 . 在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力 . 问题 　 你能从数学的角度解释上述现象吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   知识点 　 平面向量的应用 1 . 用向量方法解决平面几何问题的 “ 三步曲 ” （ 1 ）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （ 2 ）通过向量运算，研究几何元素之间的关系； （ 3 ）把运算结果 “ 翻译 ” 成几何关系 . 2 . 向量在物理中的应用 （ 1 ）物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等； （ 2 ）向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解中； （ 3 ）动量 m v 是向量的数乘运算； （ 4 ）功是力 F 与所产生的位移 s 的数量积 . 用向量法如何证明平面几何中 AB ⊥ CD ？ 提示： 证明或计算 · ＝ 0 ，从而得出 AB ⊥ CD . 1. 若 ＝3 a ， ＝ － 5 a ，且 ｜ ｜＝｜ ｜ ，则四边形 ABCD 是（ 　　 ） A. 平行四边形 　　　　　　 B. 菱形 C. 等腰梯形 D. 非等腰梯形 解析： C 　 ∵ ＝3 a ， ＝ － 5 a ， ∴ ∥ ， ｜ ｜ ≠ ｜ ｜ ， ∵ ｜ ｜＝｜ ｜ ， ∴ 四边形 ABCD 是等腰梯形 . 故选 C. 2. 某人在无风条件下骑自行车的速度为 v 1 ，风速为 v 2 （ ｜ v 1 ｜ ＞ ｜ v 2 ｜ ），则逆风行驶的速度的大小为（ 　　 ） A. v 1 － v 2 B. v 1 ＋ v 2 C.｜ v 1 ｜ － ｜ v 2 ｜ D. 解析： C 　 题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是实数 . 故逆风行驶的速度的大小为 ｜ v 1 ｜ － ｜ v 2 ｜ . 3. 在 △ ABC 中，已知 A （ 4 ， 1 ）， B （ 7 ， 5 ）， C （－ 4 ， 7 ），则 BC 边的中线 AD 的长为 　 　　　　 .   解析： BC 中点为 D （ ， 6） ， ＝（ － ， 5） ， ∴ ｜ ｜＝ ＝ . 答案： 　 题型一 平面向量在平面几何中的应用 角度一 ： 平行或共线问题 【例 1 】 　 如图，已知 D ， E 分别为 △ ABC 的边 AB ， AC 的中点，延长 CD 到 M 使 DM ＝ CD ，延长 BE 到 N 使 BE ＝ EN ，求证： M ， A ， N 三点共线 . 证明 　 ∵ D 为 MC 的中点，且 D 为 AB 的中点， ∴ ＝ ＋ . ∴ ＝ － ＝ . 同理可证明 ＝ － ＝ . ∴ ＝ － . ∴ ， 共线，又 与 有公共点 A . ∴ M ， A ， N 三点共线 . 通性通法 证明 A ， B ， C 三点共线的步骤 （ 1 ）证明其中两点组成的向量与另外两点组成的向量共线； （ 2 ）说明两向量有公共点； （ 3 ）下结论，即 A ， B ， C 三点共线 . 角度二 ： 垂直问题 【例 2 】 　 如图，在正方形 ABCD 中， P 是对角线 BD （异于 B ， D ）上的一点，四边形 PECF 是矩形，用向量证明： PA ⊥ EF . 证明 　 法一 　 设正方形边长为 a ，由于 P 是对角线 BD 上的一点，可设 ＝ λ （ 0 ＜ λ ＜ 1 ） . 则 ＝ － ＝ － λ ＝ － λ （ ＋ ） ＝ （ 1 － λ ） － λ . 又因为 ＝ － ＝ （ 1 － λ ） － λ ， 所以 · ＝ [ （ 1 － λ ） － λ ] · [ （ 1 － λ ） － λ ] ＝ （ 1 － λ ） 2 · － （ 1 － λ ） λ · － λ （ 1 － λ ） · ＋ λ 2 · ＝ － λ （ 1 － λ ） a 2 ＋ λ （ 1 － λ ） a 2 ＝ 0 ， 因此 ⊥ ，故 PA ⊥ EF . 法二 　 以 D 为原点， DC ， DA 所在直线分别为 x 轴， y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系 . 设正方形边长为 a ，由于 P 是对角线 BD 上的一点，设 DP ＝ λDB ＝ λa （ 0 ＜ λ ＜ 1 ），则 A （ 0 ， a ）， P （ λa ， λa ）， E （ a ， λa ）， F （ λa ， 0 ）， 于是 ＝ （ － λa ， a － λa ）， ＝ （ λa － a ， － λa ）， 因此 · ＝ － λa （ λa － a ） － （ a － λa ） λa ＝ － λ 2 a 2 ＋ λa 2 － λa 2 ＋ λ 2 a 2 ＝0 ，因此 ⊥ ，故 PA ⊥ EF . 通性通法 向量法证明平面几何中 AB ⊥ CD 的方法 （ 1 ） ① 选择一组向量作基底； ② 用基底表示 和 ； ③ 证明 · 的值为 0 ； ④ 给出几何结论 AB ⊥ CD ； （ 2 ）建立适当的平面直角坐标系，先求 ， 的坐标， ＝ （ x 1 ， y 1 ）， ＝ （ x 2 ， y 2 ），再计算 · 的值为 0 ，从而得到几何结论 AB ⊥ CD . 角度三 ： 长度问题 【例 3 】 　 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AD ＝ 1 ， AB ＝ 2 ，对角线 BD ＝ 2 ，求对角线 AC 的长 . 解 　 设 ＝ a ， ＝ b ， 则 ＝ a － b ， ＝ a ＋ b ， 而 ｜ ｜＝｜ a － b ｜＝ ＝ ＝ ＝ 2 ， 　 ① ｜ ｜ 2 ＝｜ a ＋ b ｜ 2 ＝ a 2 ＋ 2 a · b ＋ b 2 ＝｜ a ｜ 2 ＋ 2 a · b ＋｜ b ｜ 2 ＝ 1 ＋ 4 ＋ 2 a · b . ∵ 由 ① 得 2 a · b ＝1 ， ∴ ｜ ｜ 2 ＝6 ， ∴ ｜ ｜＝ ，即 AC ＝ . 通性通法 利用向量