6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
新课程标准解读核心素养1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示数学抽象2.会用坐标表示平面向量的加、减运算数学运算
知识梳理·读教材01题型突破·析典例02知能演练·扣课标03目录CONTENTS
01知识梳理·读教材
如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2.问题 这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示1.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 互相垂直 的向量，叫做把向量作正交分解.互相垂直 2.平面向量的坐标表示 （1）向量的坐标表示
（2）向量坐标与点的坐标的关系在直角坐标平面中，以原点O为起点作＝a，设＝xi＋yj，则向量的坐标（x，y）就是 终点A 的坐标；反过来，终点A的坐标（x，y）也就是向量的坐标.提醒 （1）表示点的坐标与表示向量的坐标不同，A（x，y），a＝（x，y）；（2）当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同；（3）向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关. 终点A
知识点二 平面向量坐标的加、减运算若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则：（1）a＋b＝ （x1＋x2，y1＋y2） ；a－b＝ （x1－x2，y1－y2） ，即两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；（x1＋x2，y1＋y2） （x1－x2，y1－y2）
（2）向量坐标的几何意义：如图所示，在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），则＝（x1，y1），若A（x1，y1），B（x2，y2），则＝ （x2－x1，y2－y1） . 结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 终点 的坐标减去 起点 的坐标.（x2－x1，y2－y1） 终点 起点
1.已知向量a＝（3，2），b＝（0，－1），则向量a＋b＝（ ）A.（3，1）B.（3，3）C.（0，－2）D.（2，2）解析：因为向量a＝（3，2），b＝（0，－1），所以a＋b＝（3，1），故选A.
2.如图，在平面直角坐标系中，向量＝（ ） A.（1，2）B.（－1，－2）C.（2，4）D.（－2，－4）解析：因为O（0，0），A（2，4），所以＝（2，4），故选C.
3.已知＝（1，2），A（3，4），则B点坐标是 . 解析：设B点的坐标为（x，y），则＝（x－3，y－4）＝（1，2）.∴解得∴B点的坐标是（4，6）. 答案：（4，6）
02题型突破·析典例
题型一平面向量的坐标表示【例1】 （1）如图，设与x轴、y轴同向的两个单位向量分别为i，j，取{i， j}作为基底，分别用i，j表示向量，，，并求出向量，，的坐标； 解 （1）由题图可知，＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，则坐标表示分别为＝（6，2），＝（2，4），＝（－4，2）.
（2）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为平行四边形，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.求向量a，b的坐标.
解 （2）如图，作AM⊥x轴于点M，则OM＝OA·cos 45°＝4×＝2，AM＝OA·sin 45°＝4×＝2，∴A（2，2），故a＝（2，2）.∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，∴∠COy＝30°，又OC＝AB＝3，∴C（－，），∴＝＝（－，），即b＝（－，）.
通性通法求点和向量坐标的常用方法（1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标；（2）在求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.
如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标以及向量与的坐标.
解：由题意及题图知B，D分别是30°角，120°角的终边与单位圆的交点.设B（x1，y1），D（x2，y2），由三角函数的定义，得x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝，x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝，∴B（，），D（－，），又A（0，0），∴＝（，），＝（－，）.
题型二平面向量的坐标运算【例2】 （1）设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，且＝4i＋2j，＝3i＋4j，＝，则C点的坐标为（ ） A.（－2，1）B.（1，－2）C.（2，－1）D.（－1，2）解析 （1）由题意可知＝－＝－i＋2j.∵＝，∴＝－i＋2j，∴C（－1，2）.故选D. 答案 （1）D
（2）若＝（3，4），A点的坐标为（－2，－1），则B点的坐标为（ ） A.（1，3）B.（5，5）C.（1，5）D.（5，4）解析 （2）设B（x，y），∵A点的坐标为（－2，－1），∴＝（x＋2，y＋1）.又∵＝（3，4），∴解得即B点的坐标为（1，3）.故选A.
（3）若＝（1，1），＝（0，1），＋＝（a，b），则a＋b＝ . 解析 （3）∵＋＝＝－＝（－1，0）＝（a，b），∴a＝－1，b＝0，∴a＋b＝－1. 答案 （3）－1
通性通法平面向量坐标运算的技巧（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行计算；（2）若已知有向线段两端点的坐标，则
2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 课件
