2022年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）（全解析版）

2022 年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 ．设全集 ，集合 满足 ， ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 2 ．已知 ，且 ，其中 ， 为实数，则 　　 A ． ， B ． ， C ． ， D ． ， 3 ．已知向量 ， 满足 ， ， ，则 　　 A ． B ． C ． 1 D ． 2 4 ．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测 , 成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星 . 为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值 , 用到数列 ， ， ， ，依此类推，其中 ， 2 ， . 则 　　 A ． B ． C ． D ． 5 ．设 为抛物线 的焦点，点 在 上，点 , 若 , 则 　　 A ． 2 B ． C ． 3 D ． 6 ．执行如图的程序框图，输出的 　　 A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 6 7 ．在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则 　　 A ．平面 平面 B ．平面 平面 C ．平面 平面 D ．平面 平面 8 ．已知等比数列 的前 3 项和为 168 ， ，则 　　 A ． 14 B ． 12 C ． 6 D ． 3 9 ．已知球 的半径为 1 ，四棱锥的顶点为 ，底面的四个顶点均在球 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为 　　 A ． B ． C ． D ． 10 ．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 ， ， ，且 ．记该棋手连胜两盘的概率为 ，则 　　 A ． 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B ．该棋手在第二盘与甲比赛， 最大 C ．该棋手在第二盘与乙比赛， 最大 D ．该棋手在第二盘与丙比赛， 最大 11 ．双曲线 的两个焦点为 ， ，以 的实轴为直径的圆记为 ，过 作 的切线与 交于 ， 两点，且 ，则 的离心率为 　　 A ． B ． C ． D ． 12 ．已知函数 ， 的定义域均为 ，且 ， ．若 的图像关于直线 对称， ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 ．从甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 　　 ． 14 ．过四点 ， ， ， 中的三点的一个圆的方程为 　　 ． 15 ．记函数 ， 的最小正周期为 ．若 ， 为 的零点，则 的最小值为 　　 ． 16 ．已知 和 分别是函数 且 的极小值点和极大值点．若 ，则 的取值范围是 　　 ． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 ～ 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。 17 ．（ 12 分）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ． （ 1 ）证明： ； （ 2 ）若 ， ，求 的周长． 18 ．（ 12 分）如图，四面体 中， ， ， ， 为 的中点． （ 1 ）证明：平面 平面 ； （ 2 ）设 ， ，点 在 上，当 的面积最小时，求 与平面 所成的角的正弦值． 19 ．（ 12 分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位： 和材积量（单位： ，得到如下数据： 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得 ， ， ． （ 1 ）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； （ 2 ）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 ； （ 3 ）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：相关系数 ， ． 20 ．（ 12 分）已知椭圆 E 的中心为坐标原点，对称轴为 x 轴、 y 轴，且过 A （ 0 ，﹣ 2 ）， B （ ，﹣ 1 ）两点． （ 1 ）求 E 的方程； （ 2 ）设过点 P （ 1 ，﹣ 2 ）的直线交 E 于 M ， N 两点，过 M 且平行于 x 轴的直线与线段 AB 交于点 T ，点 H 满足 ＝ ．证明：直线 HN 过定点． 21 ．（ 12 分）已知函数 ． （ 1 ）当 时，求曲线 在点 ， 处的切线方程； （ 2 ）若 在区间 ， 各恰有一个零点，求 的取值范围． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22 、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 [ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ] （ 10 分） 22 ．（ 10 分）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数）．以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为 ． （ 1 ）写出 的直角坐标方程； （ 2 ）若 与 有公共点，求 的取值范围． [ 选修 4-5 ：不等式选讲 ] （ 10 分） 23 ．已知 ， ， 都是正数，且 ，证明： （ 1 ） ； （ 2 ） ． ———————————————————————————————————— ———————————————————————————————————— 2022 年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共