2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理综合问题 学案

第 4 课时　余弦定理、正弦定理综合问题 课程标准 1. 掌握三角形的面积公式． 2 ．利用面积公式，正、余弦定理及三角函数公式求解综合问题． 新知初探 · 课前预习 —— 突出基础性 教 材 要 点 要点　三角形的面积公式 1 ．已知 △ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，则 △ ABC 的面积公式为 (1) S ＝ __________ ＝ __________ ＝ __________ ； (2) S ＝ a · h a ＝ b · h b ＝ c · h c ( h a ， h b ， h c 表示 a ， b ， c 边上的高 ) ． 2 ． △ ABC 中的常用结论 (1) A ＋ B ＋ C ＝ ____ __ ， sin ( A ＋ B ) ＝ ______ ， cos ( A ＋ B ) ＝ ______ ； (2) 大边对大角，即 a > b ⇔ A > B ⇔sin A >sin B ； (3) 任意两边之和 ______ 第三边，任意两边之差 ______ 第三边． 夯 实 双 基　 1 ．判断正误 ( 正确的画 “√” ，错误的画 “×”) (1) 公式 S ＝ ab sin C 适合求任意三角形的面积． ( 　　 ) (2) 三角形中已知三边无法求其面积． ( 　　 ) (3) 在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积． ( 　　 ) (4) 在 △ ABC 中， A > B ⇔cos A >cos B ． ( 　　 ) 2 ．在 △ ABC 中，若 AB ＝ 1 ， AC ＝ ， A ＝ ，则 S △ ABC 的值为 ( 　　 ) A ． 2 　　　 B ． 　　　 C ． 1 　　　 D ． 3 ．在 △ ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ， a ＝ 1 ， C ＝ 45° ， △ ABC 的面积为 2 ，则 b ＝ ( 　　 ) A ． 2 B ． 4 C ． 4 D ． 4 4 ．在 △ ABC 中， bc ＝ 20 ， S △ ABC ＝ 5 ， △ ABC 的外接圆的半径为 3 ，则 a ＝ ________ ． 题型探究 · 课堂解透 —— 强化创新性 题型 1 　三角形面积的计算 例 1 　 [2022· 福建三明高一期末 ] 在锐角 △ ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 所对的边，且 b ＝ 2 c sin B . (1) 求角 C 的大小； (2) 若 c ＝ ，且 a ＋ b ＝ 3 ，求 △ ABC 的面积． 题后师说 1 ． 求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用． 2 ．余弦定理中，要注意对完全平方公式的应用． 巩固训练 1 　 已知 a 、 b 、 c 分别为 △ ABC 三个内角 A 、 B 、 C 的对边， a cos C ＋ a sin C － b － c ＝ 0. (1) 求 A ； (2) 若 a ＝ 2 ， △ ABC 的面积为 ，求 b 、 c . 题型 2 　三角形面积的最值问题 例 2 　 [2022· 广东肇庆高一期末 ] 在 △ ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 a sin A － b sin B ＝ c (sin A － sin C ) ． (1) 求 B ； (2) 若 b ＝ ，求 △ ABC 面积的最大值． 题后师说 求三角形面积最值的方法 巩 固训练 2 　 [2022· 河北唐山高一期末 ] △ ABC 的角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 c sin A ＋ c cos A ＝ a ＋ b . (1) 求 C ； (2) 若 D 为 AB 的中点， CD ＝ 1 ，求 △ ABC 面积的最大值． 题型 3 　余弦、正弦定理在平面几何中的应用 例 3 　 [2022· 山东滨州高一期末 ] 如图，在圆内接四边形 ABCD 中， ∠ B ＝ 120° ， AB ＝ 2 ， AD ＝ 2 ， △ ABC 的面积为 . (1) 求 AC ； (2) 求 ∠ ACD . 题后师说 在平面几何中求边、求角，通常思路是先找所求的边、角所在的三角形，再在三角形中通过余弦、正弦定理求边和角． 巩固训练 3 　 [2022· 河北沧州高一期中 ] 如图，在 △ ABC 中， AB ＝ 2 ， AC ＝ 1 ， B ＝ ，点 D 在边 BC 上，且 cos ∠ ADB ＝－ . (1) 求 AD ； (2) 求 △ ACD 的面积． 第 4 课时　余弦定理、正弦定理综合问题 新知初探 · 课前预习 [ 教材要点 ] 要点 1 ． (1) ab sin C 　 ac sin B 　 bc sin A 2 ． (1)180° 　 sin C 　－ cos C 　 (3) 大于　小于 [ 夯实双基 ] 1 ． 答案： (1)√ 　 (2)× 　 (3)√ 　 (4)× 2 ． 解析： S △ ABC ＝ · sin A ＝ ＝ ，故选 D. 答案： D 3 ． 解析： 由题可知， ab sin C ＝ 2⇒ × 1· b · ＝ 2⇒ b ＝ 4 . 故选 C. 答案： C 4 ． 解析： 由 S △ ABC ＝ 5 ，有 bc sin A ＝ × 20 × sin A ＝ 5⇒sin A ＝ ， 再由正弦定理有 ＝ 2 × 3 ，即 a ＝ × 2 × 3 ＝ 3. 答案： 3 题型探究 · 课堂解透 例 1 　 解析： (1) 因为 b ＝ 2 c sin B ，所以由正弦定理得 sin B ＝ 2sin C sin B ， 因为 sin B ≠0 ，则 sin C ＝ ，又因为 C 是锐角， 故 C ＝ 60°. (2) 由余弦定理，得 c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos 60° ， 所以 6 ＝ ( a ＋ b ) 2 － 3 ab ＝ 9 － 3 ab ， 又因为 a ＋ b ＝ 3 ，所以 ab ＝ 1 ， 则 S △ ABC ＝ ab sin C ＝ . 巩固训练 1 　解析： (1) 由正弦定理得： sin A cos C ＋ sin A sin C － sin B － sin C ＝ 0 ，又 A ＋ C ＝ π － B ，则 sin B ＝ sin ( A ＋ C ) ＝ sin A cos C ＋ sin C cos A ， 则 sin A cos C ＋ sin A sin C － sin A cos C － sin C cos A － sin C ＝ 0 ，整理得 sin A sin C － sin C cos A － sin C ＝ 0 ，又 s