2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 6.4.3　第二课时　正弦定理（学案）

6.4.3 　 第二课时 　 正弦定理 如图所示，若想知道河对岸的一点 A 与岸边一点 B 之间的距离，而且已经测量出了 BC 的长度，也想办法得到了 ∠ ABC 与 ∠ ACB 的大小 . 问题 　 你能借助这三个量，求出 AB 的长度吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   知识点 　 正弦定理 文字 语言 在一个三角形中，各边和它所对角的 　正弦　 的比相等 符号 语言 ＝ ＝ （ △ ABC 中角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ） 提醒 　 正弦定理的变形形式 ： 若 R 为 △ ABC 外接圆的半径，则 ① a ＝ 2 R sin A ， b ＝ 2 R sin B ， c ＝ 2 R sin C ； ② sin A ＝ ， sin B ＝ ， sin C ＝ ； ③ sin A ∶ sin B ∶ sin C ＝ a ∶ b ∶ c ； ④ ＝ 2 R . 如图，在 Rt△ ABC 中， ， ， 各自等于什么？ 提示： ＝ ＝ ＝ c . 1. 在 △ ABC 中，下列等式总能成立的是（ 　　 ） A. a cos C ＝ c cos A 　　　　 B. b sin C ＝ c sin A C. ab sin C ＝ bc sin B D. a sin C ＝ c sin A 解析： D 　 由正弦定理易知，选项 D 正确 . 2. 在 △ ABC 中， a ＝ 15 ， b ＝ 10 ， A ＝ 60 ° ，则 sin B ＝ （ 　　 ） A. B. C. D. 解析： A 　 由 ＝ ，故 ＝ ，解得 sin B ＝ . 故选 A. 3. 在 △ ABC 中，若 A ＝ 60 ° ， B ＝ 45 ° ， BC ＝ 3 ，则 AC ＝ （ 　　 ） A.4 B.2 C. D. 解析： B 　 由正弦定理 ＝ ，得 ＝ ，所以 AC ＝ × ＝ 2 . 题型一 已知两角及一边解三角形 【例 1 】 　 在 △ ABC 中，已知 a ＝ 8 ， B ＝ 60 ° ， C ＝ 75 ° ，求 A ， c . 解 　 A ＝ 180 ° － （ B ＋ C ） ＝ 180 ° － （ 60 ° ＋ 75 ° ） ＝ 45 ° . 由 ＝ 得， c ＝ ＝ ＝ ＝ 4 （ ＋ 1 ） . 所以 A ＝ 45 ° ， c ＝ 4 （ ＋ 1 ） . 通性通法 已知两角及一边解三角形的一般步骤 　 在 △ ABC 中， B ＝ ， C ＝ ， a ＝ 5 ，则此三角形的最大边长为 　 　　　　 .   解析： ∵ B ＝ ， C ＝ ， ∴ A ＝ ， ∴ B 所对的边最大， ∵ ＝ ， ∴ b ＝ ＝ ＝ 5 . 答案： 5 题型二 已知两边及一边的对角解三角形 【例 2 】 　 在 △ ABC 中，已知 a ＝ ， b ＝ ， B ＝ 45 ° ，解此三角形 . 解 　 由正弦定理 ＝ ，知 sin A ＝ ＝ ， ∵ b ＜ a ， ∴ A ＝ 60 ° 或 120 ° ， 当 A ＝ 60 ° 时， C ＝ 180 ° － A － B ＝ 75 ° ， ∴ c ＝ ＝ ＝ ； 当 A ＝ 120 ° 时， C ＝ 180 ° － A － B ＝ 15 ° ， ∴ c ＝ ＝ ＝ . 故当 A ＝ 60 ° 时， C ＝ 75 ° ， c ＝ ； 当 A ＝ 120 ° 时， C ＝ 15 ° ， c ＝ . （ 变条件 ） 若本例中 “ B ＝ 45 ° ” 变为 “ A ＝ 60 ° ” 其他条件不变，解此三角形 . 解： 由正弦定理 ＝ ，知 sin B ＝ ＝ ， ∵ b ＜ a ， ∴ B ＝ 45 ° ， ∴ C ＝ 75 ° ， ∴ c ＝ ＝ ＝ . 通性通法 已知两边及一边的对角解三角形的步骤 1. 在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，若 a ＝ 4 ， b ＝ 3 ， sin A ＝ ，则 B ＝ （ 　　 ） A. B. C. 或 D. 或 解析： A 　 由题意可得 sin B ＝ ＝ ＝ ，则 B ＝ 或 B ＝ . 因为 b ＜ a ，所以 B ＜ A ，所以 B ＝ . 故选 A. 2. 在 △ ABC 中，若 a ＝ 6 ， b ＝ 6 ， A ＝ 30 ° ，则 B ＝ （ 　　 ） A.60 ° B.60 ° 或 120 ° C.60 ° 或 150 ° D.120 ° 解析： B 　 a ＜ b ⇒ A ＜ B ⇒ B ＞ 30 ° ，由正弦定理可知 ＝ ， ∴ sin B ＝ ＝ ＝ ， ∵ B ∈ （ 30 ° ， 180 ° ）， ∴ B ＝ 60 ° 或 120 ° . 故选 B. 题型三 判断三角形的形状 【例 3 】 　 （ 1 ）若 a cos B ＝ b cos A ，则 △ ABC 是 　 　　　　 三角形；   （ 2 ）若 a cos A ＝ b cos B ，则 △ ABC 是 　 　　　　 三角形 .   解析 　 （ 1 ）由正弦定理 ＝ ，得 ＝ . 又 a cos B ＝ b cos A ，所以 ＝ ，所以 ＝ ，所以 sin A· cos B ＝ sin B· cos A ，即 sin A· cos B － sin B· cos A ＝ 0 ，故 sin （ A － B ） ＝ 0. 因为 A ， B 是三角形内角，所以 A － B ＝ 0 ，则 A ＝ B ，故 △ ABC 是等腰三角形 . （ 2 ）由正弦定理 ＝ ，得 ＝ . 又 a cos A ＝ b cos B ，所以 ＝ ，所以 ＝ ，所以 sin A· cos A ＝ sin B· cos B ，所以 2sin A· cos A ＝ 2sin B· cos B ，即 sin 2 A ＝ sin 2 B . 因为 A ， B 为三角形内角，所以 2 A ＝ 2 B 或 2 A ＋ 2 B ＝ π ，得 A ＝ B 或 A ＋ B ＝ ，故 △ ABC 是等腰三角形或直角三角形 . 答案 　 （ 1 ）等腰 　 （ 2 ）等腰或直角 通性通法 利用正弦定理判断三角形形状的方法 （ 1 ）化边为角：将题目中的所给条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状； （ 2 ）化角为边：将题目中的所给条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系（如 a ＝ b ， a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 ），进而确定三角形的形状 . 已知在 △ ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 的对边，若 ＝ ＝ ，则 △ ABC 是（ 　　 ）