2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第一册 2.1双曲线及其标准方程 课件

第二章2.1　双曲线及其标准方程 基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测目录索引 课程标准1.了解双曲线的定义.2.掌握双曲线的几何图形与标准方程.3.会求双曲线的标准方程. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　双曲线的定义1.定义平面内到两个定点F1,F2的距离之　　　　　　　　等于　　　　(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线. 这两个定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距.2.集合语言表达式双曲线就是集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|}.平面内符合条件的点集差的绝对值常数 名师点睛1.若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点M的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于|MF1|与|MF2|的大小.(1)若|MF1|>|MF2|,则|MF1|-|MF2|>0,点M的轨迹是靠近定点F2的那一支;(2)若|MF1|<|MF2|,则|MF2|-|MF1|>0,点M的轨迹是靠近定点F1的那一支.2.双曲线定义中的常数必须要大于0且小于|F1F2|.(1)若定义中的常数等于|F1F2|,此时动点轨迹是分别以F1和F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).(2)若定义中的常数大于|F1F2|,此时动点轨迹不存在.(3)若定义中的常数为0,此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 过关自诊[人教A版教材习题]如图,圆O的半径为定长r,A是圆O外一个定点,P是圆O上任意一点.线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q,当点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么? 提示 当点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是双曲线.连接OA,QA(图略),由已知得|QP|=|QA|,所以||QA|-|QO||=||QP|-|QO||=r.又因为点A在圆外,所以|OA|>|OP|=r,所以点Q的轨迹是双曲线. 知识点2　双曲线的标准方程 焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程　　　　　　　 (a>0,b>0)　　　　　　 (a>0,b>0)几何图形  焦点坐标　　　　　　　 　　　　　　 a,b,c的关系c2=　　　　　 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)　 a2+b2 过关自诊1.[人教B版教材习题]分别根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1)a=3,b=4,且焦点在x轴上;(2)焦点为F1(0,-6)和F2(0,6),且经过点A(2,-5). 2.[人教B版教材习题]已知双曲线x2-y2=m与椭圆2x2+3y2=72有相同的焦点,求m的值. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　　双曲线的概念【例1】 设平面上的点到两个定点F1(5,0),F2(-5,0)的距离之差的绝对值分别等于(1)6;(2)10;(3)12.满足条件的曲线若存在,是什么样的曲线?若不存在,请说明理由.解 (1)存在.∵|F1F2|=10,而6<10,∴满足条件的曲线是双曲线.(2)存在.∵|F1F2|=10,而10=10,∴满足条件的是以F1,F2为端点的两条射线.(3)不存在.∵|F1F2|=10,而12>10,∴满足该条件的曲线不存在. 规律方法　双曲线是到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹),要注意条件“常数(大于零且小于|F1F2|)”. 变式训练1已知A(0,-5),B(0,5),|PA|-|PB|=2a,当a=3或5时,P点的轨迹为(　　)A.双曲线或一条直线B.双曲线或两条直线C.双曲线一支或一条直线D.双曲线一支或一条射线D解析 当a=3时,2a=6,此时|AB|=10,∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B).当a=5时,2a=10,此时|AB|=10,∴点P的轨迹为射线,且是以B为端点的一条射线. 探究点二　　求双曲线的标准方程【例2】 根据下列条件,求双曲线的标准方程: 规律方法　1.求双曲线标准方程的两个关注点 2.双曲线标准方程的两种求法(1)定义法:根据双曲线的定义得到相应的a,b,c,再写出双曲线的标准方程.(2)待定系数法:先设出双曲线的标准方程 (a,b均为正数),然后根据条件求出待定的系数,代入方程即可.[注意]若焦点的位置不明确,应注意分类讨论,也可以设双曲线方程为mx2+ny2=1的形式,注意标明条件mn<0. 变式训练2求符合下列条件的双曲线的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8; 探究点三　　双曲线中的焦点三角形【例3】 若F1,F2是双曲线 的两个焦点.(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离;(2)如图,若P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32,试求△F1PF2的面积. (1)由双曲线的定义得||MF1|-|MF2||=2a=6,又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,假设点M到另一个焦点的距离等于x,则|16-x|=6,解得x=10或x=22.故点M到另一个焦点的距离为10或22. (2)将|PF2|-|PF1|=2a=6两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,则|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.在△F1PF2中,由余弦定理得 变式探究将本例(2)中的条件“|PF1|·|PF2|=32”改为“∠F1PF2=60°”,求△F1PF2的面积.由双曲线的定义和余弦定理得|PF2|-|PF1|=6,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°,所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,所以|PF1|·|PF2|=64, 规律方法　求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)(方法一)①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a;②利用余弦定理表示出|PF1|,|PF2|,|F1F2|之间满足的关系式;③通过配方,利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值; 变