2021年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）（全解析版）

2021 年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 ．已知全集 ， 2 ， 3 ， 4 ， ，集合 ， ， ， ，则 　　 A ． B ． ， C ． ， D ． ， 2 ， 3 ， 2 ．设 ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 3 ．已知命题 ， ；命题 ， ，则下列命题中为真命题的是 　　 A ． B ． C ． D ． 4 ．函数 的最小正周期和最大值分别是 　　 A ． 和 B ． 和 2 C ． 和 D ． 和 2 5 ．若 ， 满足约束条件 则 的最小值为 　　 A ． 18 B ． 10 C ． 6 D ． 4 6 ． 　　 A ． B ． C ． D ． 7 ．在区间 随机取 1 个数，则取到的数小于 的概率为 　　 A ． B ． C ． D ． 8 ．下列函数中最小值为 4 的是 　　 A ． B ． C ． D ． 9 ．设函数 ，则下列函数中为奇函数的是 　　 A ． B ． C ． D ． 10 ．在正方体 中， 为 的中点，则直线 与 所成的角为 　　 A ． B ． C ． D ． 11 ．设 是椭圆 的上顶点，点 在 上，则 的最大值为 　　 A ． B ． C ． D ． 2 12 ．设 ，若 为函数 的极大值点，则 　　 A ． B ． C ． D ． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。 13 ．已知向量 ， ，若 ，则 　　 ． 14 ．双曲线 的右焦点到直线 的距离为 　　 ． 15 ．记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，面积为 ， ， ，则 　　 ． 16 ．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 　　 （写出符合要求的一组答案即可）． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 ～ 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。 17 ．（ 12 分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为 和 ． （ 1 ）求 ， ， ， ； （ 2 ）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）． 18 ．（ 12 分）如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ， 为 的中点，且 ． （ 1 ）证明：平面 平面 ； （ 2 ）若 ，求四棱锥 的体积． 19 ．（ 12 分）设 是首项为 1 的等比数列，数列 满足 ，已知 ， ， 成等差数列． （ 1 ）求 和 的通项公式； （ 2 ）记 和 分别为 和 的前 项和．证明： ． 20 ．（ 12 分）已知抛物线 的焦点 到准线的距离为 2 ． （ 1 ）求 的方程； （ 2 ）已知 为坐标原点，点 在 上，点 满足 ，求直线 斜率的最大值． 21 ．（ 12 分）已知函数 ． （ 1 ）讨论 的单调性； （ 2 ）求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22 、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 [ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ] （ 10 分） 22 ．（ 10 分）在直角坐标系 中， 的圆心为 ，半径为 1 ． （ 1 ）写出 的一个参数方程； （ 2 ）过点 作 的两条切线．以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程． [ 选修 4-5 ：不等式选讲 ] （ 10 分） 23 ．已知函数 ． （ 1 ）当 时，求不等式 的解集； （ 2 ）若 ，求 的取值范围． 2021 年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 ．已知全集 ， 2 ， 3 ， 4 ， ，集合 ， ， ， ，则 　　 A ． B ． ， C ． ， D ． ， 2 ， 3 ， 【思路分析】 利用并集定义先求出 ，由此能求出 ． 【解析】： 全集 ， 2 ， 3 ， 4 ， ，集合 ， ， ， ， ， 2 ， 3 ， ， ．故选： ． 【归纳总结】 本题考查集合的运算，考查并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题． 2 ．设 ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 【思路分析】 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解析】： 解法一： 由 ，得 ．故选： ． 解法二：（山西运城刘丽补解）：等式两边同乘ｉ可得 。 两边再同乘 即得结果为 ， 故选： ． 【归纳总结】 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题． 3 ．已知命题 ， ；命题 ， ，则下列命题中为真命题的是 　　 A ． B ． C ． D ． 【思路分析】 先分别判断命题 和命题 的真假，然后由简单的复合命题的真假判断法则进行判断，即可得到答案． 【解析】： 对于命题 ， ， 当 时， ，故命题 为真命题， 为假命题； 对于命题 ，