2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 6.4.3 第1课时 余弦定理 学案

6 ． 4.3 　余弦定理、 正弦定理 第 1 课时　余弦定理 课程标准 1. 掌握余弦定理及其推论． 2 ．掌握余弦定理的综合应用． 新知初探 · 课前预习 —— 突出基础性 教 材 要 点 要点一　余弦定理 文字 表述 三角形中任何一边的平方，等于 __________________ 减去这两边与它们 ________________ 的两倍 公式 表达 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ， b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 － 2 ac cos B ， c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos C ． ❶ 推论 cos A ＝ ， cos B ＝ ， cos C ＝ . ❷ 要点二　解三角形 一般地，三角形的三个角 A ， B ， C 和它们的对边 a ， b ， c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 ____________ ． 助 学 批 注 批注 ❶ 　 (1) 余弦定理对任意的三角形都成立． (2) 在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量． 批注 ❷ 　余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角． 夯 实 双 基　 1 ．判断正误 ( 正确的画 “√” ，错误的画 “×”) (1) 勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广 .( 　　 ) (2) 余弦定理只适用于锐角三角形． ( 　　 ) (3) 已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的． ( 　　 ) (4) 在 △ ABC 中，若 a 2 > b 2 ＋ c 2 ，则 △ ABC 一定为钝角三角形 .( 　　 ) 2 ． 已知在△ ABC 中， a ＝ 1 ， b ＝ 2 ， C ＝ ，则 c ＝ ( 　　 ) A. 　　　 B ． C ． 　　　 D ． 3 ．在 △ ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， cos A ＝ ， b ＝ 3 ， c ＝ 5 ，则 a ＝ ( 　　 ) A.3 　　　 B ． 4 C ． 　　　 D ． 2 4 ．在 △ ABC 中，若 a ＝ 8 ， b ＝ 7 ， c ＝ 5 ，则 B ＝ ____ ____ ． 题型探究 · 课堂解透 —— 强化创新性 题型 1 　已知两边及一角解三角形 例 1 　 (1) [2022· 湖南邵阳高一期 末 ] 在 △ ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 a ＝ 1 ， b ＝ 2 ， C ＝ 60° ，则 c ＝ ( 　　 ) A ． 3 　　　　　 B ． C ． D ． (2) [2022· 福建福州高一期末 ] 在 △ ABC 中， AB ＝ ， AC ＝ ， B ＝ 45°. 则 BC ＝ ( 　　 ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 题后师说 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给 出两边的夹角． 若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边． 巩固训练 1 　 (1) 在 △ ABC 中，若 AB ＝ 2 ， AC ＝ 3 ， A ＝ 60° ，则 BC 的长为 ( 　　 ) A ． B ． C ． 3 D ． (2) [2022· 湖北武汉高一期末 ] 在 △ ABC 中， a ＝ ， B ＝ ， b ＝ 3 ，则 c 的值为 ( 　　 ) A ． B ． 2 C ． 3 D ． 3 题型 2 　已知三边解三角形 例 2 　 (1) [2022· 湖北荆州高一期中 ] 已知钝角三角形的边长分别为 x ， x ＋ 1 ， x ＋ 2 ，则实数 x 的取 值范围是 ( 　　 ) A ． 0< x <3 B ． 1< x <3 C ． 1< x <5 D ． 0< x <5 (2) [2022· 山东潍坊高一期末 ] 记 △ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 a 2 ＋ c 2 － b 2 ＝ ac sin B ，则 B ＝ ________ ． 题后师说 1 ． 已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一． 2 ．若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解． 巩固训练 2 　 (1) [2022· 福建三明高一期中 ] △ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边为 a ， b ， c ，若 a ＝ 3 ， b ＝ ， c ＝ 4 ，则 B ＝ ( 　　 ) A ． B ． C ． D ． (2) [2022· 湖南邵阳高一期中 ] 若 △ ABC 三边长 a ， b ， c 满足等式 3 a 2 ＋ 2 ab ＋ 3 b 2 － 3 c 2 ＝ 0 ，则 cos C ＝ ________ ． 题型 3 　利用余弦定理判断三角形的形状 例 3 　在 △ ABC 中，若 a cos B ＋ a cos C ＝ b ＋ c ，试判断该三角形的形状． 题后师说 1 ． 利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从 “ 统一 ” 入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思路： 2 ．判断三角形的形状时，常用到以下结论： ①△ ABC 为直角三角形 ⇔ a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 或 c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 或 b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 ； ②△ ABC 为锐角三角形 ⇔ a 2 ＋ b 2 ＞ c 2 且 b 2 ＋ c 2 ＞ a 2 且 c 2 ＋ a 2 ＞ b 2 ； ③△ ABC 为钝角三角形 ⇔ a 2 ＋ b 2 ＜ c 2 或 b 2 ＋ c 2 ＜ a 2 或 c 2 ＋ a 2 ＜ b 2 . 巩固训练 3 　 若在 △ ABC 中， 2 a ·cos B ＝ c ，则三角形的形状一定是 ( 　　 ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三