2022年上海市春季高考数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．已知
（其中
为虚数单位），则
．
2．已知集合
，集合
，则
．
3．不等式
的解集为
．
4．若
，则
．
5．设函数
的反函数为
，则
．
6．在
的展开式中，则含
项的系数为
．
7．若关于
，
的方程组
有无穷多解，则实数
的值为
．
8．已知在
中，
，
，
，则
的外接圆半径为
．
9．用数字
1
、
2
、
3
、
4
组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比
2134
大的数字个数为
（用数字作答）
10．在
中，
，
，点
为边
的中点，点
在边
上，则
的最小值为
．
11．已知
，
，
，
两点均在双曲线
的右支上，若
恒成立，则实数
的取值范围为
．
12．已知函数
为定义域为
的奇函数，其图像关于
对称，且当
，
时，
，若将方程
的正实数根从小到大依次记为
，
，
，
，
，则
．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13．下列函数定义域为
的是
A
．
B
．
C
．
D
．
14．若
，则下列不等式恒成立的是
A
．
B
．
C
．
D
．
15．上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天
0
点至
12
点（包含
0
点，不含
12
点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为
A
．
0
B
．
2
C
．
4
D
．
12
16．已知等比数列
的前
项和为
，前
项积为
，则下列选项判断正确的是
A
．若
，则数列
是递增数列
B
．若
，则数列
是递增数列
C
．若数列
是递增数列，则
D
．若数列
是递增数列，则
三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为
、
，
为圆柱的母线，底面半径长为
1
．
（
1
）若
，
为
的中点，求直线
与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）
（
2
）若圆柱过
的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．
18．（14分）已知在数列
中，
，其前
项和为
．
（
1
）若
是等比数列，
，求
；
（
2
）若
是等差数列，
，求其公差
的取值范围．
19．（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块
，
，
．为保护
处的一棵古树，有关部门划定了以
为圆心、
为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为
边上的点
，出线口为
边上的点
，施工要求
与封闭区边界相切，
右侧的四边形地块
将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到
，计算面积精确到
（
1
）若
，求
的长；
（
2
）当入线口
在
上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？
20．（16分）已知椭圆
，
、
两点分别为
的左顶点、下顶点，
、
两点均在直线
上，且
在第一象限．
（
1
）设
是椭圆
的右焦点，且
，求
的标准方程；
（
2
）若
、
两点纵坐标分别为
2
、
1
，请判断直线
与直线
的交点是否在椭圆
上，并说明理由；
（
3
）设直线
、
分别交椭圆
于点
、点
，若
、
关于原点对称，求
的最小值．
21．（18分）已知函数
的定义域为
，现有两种对
变换的操作：
变换：
；
变换：
，其中
为大于
0
的常数．
（
1
）设
，
，
为
做
变换后的结果，解方程：
；
（
2
）设
，
为
做
变换后的结果，解不等式：
；
（
3
）设
在
上单调递增，
先做
变换后得到
，
再做
变换后得到
；
先做
变换后得到
，
再做
变换后得到
．若
恒成立，证明：函数
在
上单调递增．
————————————————————————————————————
————————————————————————————————————
2022年上海市春季高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．已知
（其中
为虚数单位），则
．
【思路分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，即可求解．
【解析】
，
．故答案为：
．
【试题评价】本题主要考查共轭复数的概念，属于基础题．
2．已知集合
，集合
，则
．
【思路分析】利用交集定义直接求解．
【解析】
集合
，集合
，
．故答案为：
．
【试题评价】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．不等式
的解集为
．
【思路分析】把分式不等式转化为二次不等式即可直接求解．
【解析】由题意得
，解得
，故不等式的解集
．故答案为：
．
【试题评价】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．
4．若
，则
．
【思路分析】由两角和的正切公式直接求解即可．
【解析】若
，则
．故答案为：
．
【试题评价】本题主要考查两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题．
5．设函数
的反函数为
，则
3
．
【思路分析】直接利用反函数的定义求出函数的关系式，进一步求出函数的值．
【解析】函
2022年上海市春季高考数学试卷（全解析版）
