2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册 5.1.1变化率问题 学案

第五章　一元函数的导数及其应用 5 . 1 　导数的概念及其意义 5 . 1.1 变化率问题 素养目标 · 定方向 学习目标 核心素养 知道瞬时速度的概念，能描述瞬时速度与平均速度的关系 数学抽象 会通过极限的方法求瞬时速度 数学抽象　数学运算 会区分曲线的割线斜率与切线斜率，并知道二者的不同 数学抽象 必备知识 · 探新知 知识点 1 　瞬时速度 我们把物体在 __ 某一时刻 __ 的速度称为瞬时速度． 知识点 2 　极限 在研究 t ＝ 1 时的瞬时速度时，我们发现，当 Δ t 无限趋近于 0 ，即无论 t 从小于 1 的一边，还是从大于 1 的一边无限趋近于 1 时，平均速度 都无限趋近于－ 5. 事实上，由 ＝ ＝－ 4.9Δ t － 5 可以发现，当 Δ t 无限趋近于 0 时，－ 4.9Δ t 也 __ 无限趋近于 0 __ ，所以 v 无限趋近于 __ － 5 __ ．这与前面得到的结论一致．数学中，我们把－ 5 叫做 “ 当 Δ t 无限趋近于 0 时， ＝ 的极限 ” ，记为 ＝－ 5. 想一想： 瞬时速度与平均速度有什么关系？ 提示 ： 设运动员在 t 0 时刻附近的某一时间段 [ t 0 ＋ Δ t ， t 0 ](Δ t <0) 或 [ t 0 ， t 0 ＋ Δ t ](Δ t >0) 的平均速度是 ，所以当不断缩短上述时间段的长度，即 Δ t 无限趋近于 0 时， 将越来越趋近于运动员在 t 0 时刻的瞬时速度． 求瞬时速度体现了运动变化的观点． 练一练： 已知某物体的运动方程是 s ＝ ＋ t ，则当 t ＝ 3s 时的瞬时速度是 ( 　 C 　 ) A ． 2m/s 　　 B ． 3m/s 　　 C ． 4m/s 　　 D ． 5m/s [ 解析 ] 　 ∵ Δ s ＝ ＋ (3 ＋ Δ t ) － － 3 ＝ － 3 ＋ Δ t ＝ ＋ ( 　 Δ t ) 2 ＋ 4Δ t ， ∴ ＝ ( 　 Δ t ) 2 ＋ Δ t ＋ 4 ， ∴ ＝ ＝ 4. 故选 C ． 知识点 3 　曲线的切线 在研究抛物线的割线时，我们发现，当点 P 无限趋近于点 P 0 时，割线 P 0 P 无限趋近于 __ 一个确定的位置 __ ，这个确定位置的直线 P 0 T 称为抛物线 f ( x ) ＝ x 2 在点 P 0 (1 ， 1) 处的切线． 想一想： 割线的斜率与切线的斜率有怎样的区别与联系？ 提示： 区 别：割线的斜率是经过曲线上两点连线的斜率；切线的斜率是以曲线上一点为切点且与曲线相切的直线的斜率． 联系：切线的斜率是割线的斜率的极限值． 练一练： 求函数 y ＝ x ＋ 在 x ＝ 1 处的切线斜率． [ 解析 ] 　 因为 Δ y ＝ (1 ＋ Δ x ) ＋ － (1 ＋ 1) ＝ Δ x ＋ － 1 ， 所以 ＝ 1 － ， 所以 k ＝ ＝ ＝ 0. 关键能力 · 攻重难 题型探究 题型一 平均变化率的求法 典例 1 　 (1) 如图所示，函数 y ＝ f ( x ) 在 [1 ， 3] 上的平均变化率为 ( 　 B 　 ) A ． 1 　　 B ．－ 1 　　 C ． 2 　　 D ．－ 2 (2)(2022· 陕西西安中 学高二检测 ) 设地铁在某段时间内进行调试，由始点起经过 t 秒后的距离为 s ＝ t 4 － 4 t 3 ＋ 16 t 2 ( 单位：米 ) ，则列车运行 10 秒的平均速度为 ( 　 A 　 ) A ． 10 米 / 秒　　 B ． 8 米 / 秒 C ． 4 米 / 秒　　 D ． 0 米 / 秒 [ 解析 ] 　 (1) ＝ ＝ ＝－ 1. (2) 列车从开始运 行到 10 秒时，列车距离的增加量为 s (10) － s (0) ＝ 100 － 0 ＝ 100( 米 ) ，则列车运行 10 秒的平均速度为 ＝ 10( 米 / 秒 ) ． [ 规律方法 ] 　 求平均变化率的方法步骤 通常用 “ 两步 ” 法，一作差，二作商，即： (1) 先求出 Δ x ＝ x 2 － x 1 ，再计算 Δ y ＝ f ( x 2 ) － f ( x 1 ) ． (2) 对所求得的差作商，即 ＝ ＝ . 【对点训练】 ❶ (1) 已知一物体的运动方程为 y ＝ f ( t ) ＝ 2 t 2 ＋ 1 ，其中 t 的单位是 s ，路程单位为 m ，那么物体在时间 [1 ， 1 ＋ Δ t ] 内的平均速度为 ( 　 C 　 ) A ． 4 　　 B ． 4Δ t 　　 C ． 4 ＋ 2Δ t 　　 D ． 2Δ t (2) 物体甲、乙在时间 0 到 t 1 范围内路程的变 化情况如图所示，下列说法正确的是 ( 　 C 　 ) A ．在 0 到 t 0 范围内甲的平均速度大于乙的平均速度 B ．在 0 到 t 0 范围内甲的平均速度小于乙的平均速度 C ．在 t 0 到 t 1 范围内甲的平均速度大于乙的平均速度 D ．在 t 0 到 t 1 范围内甲的平均速度小于乙的平均速度 [ 解析 ] 　 (1) 由题意， Δ y ＝ f (1 ＋ Δ t ) － f (1) ＝ 2(1 ＋ Δ t ) 2 ＋ 1 － 3 ＝ 4Δ t ＋ 2(Δ t ) 2 ， 所以 ＝ ＝ 4 ＋ 2Δ t . (2) 在 0 到 t 0 范围内，甲、乙所走的路程相同，时间一样，所以平均速度相同；在 t 0 到 t 1 范围内，甲、乙所用的时间相同，而甲走的路程较多，所以甲的平均速度大于乙的平均速度． 题型二 瞬时变化率 ( 瞬时速度 ) 的求法 典例 2 　 已知质点 M 按规律 s ＝ 2 t 2 ＋ 3 做直线运动． ( 位移单位： cm ，时间单位： s ) (1) 当 t ＝ 2 ， Δ t ＝ 0.01 时，求 ； (2) 当 t ＝ 2 ， Δ t ＝ 0.001 时，求 ； (3) 求质点 M 在 t ＝ 2 时的瞬时速度． [ 分析 ] 　 先求 Δ s ， Δ s ＝ s ( t ＋ Δ t ) － s ( t ) ＝ 2( t ＋ Δ t ) 2 ＋ 3 － (2 t 2 ＋ 3) ＝ 4 t ·Δ t ＋ 2(Δ t ) 2 ，再求 ，最后代值， Δ t 越接近于 0 ， 就越接近某时刻的瞬时速度． [ 解析 ] 　 ＝ ＝ ＝ 4 t ＋ 2Δ t . (1) 当 t ＝ 2 ， Δ t ＝ 0.01