2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册 5.1.1　变化率问题 学案

5 ． 1.1 　变化率问题 学习目标 1. 通过对大量实例的分析 ， 经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程． 2. 会求函数在某一点附近的 平均变化率． ( 重点 ) 3. 理解函数的平均变化率 ， 瞬时变化率及瞬时速度的概念． ( 易混点 ) 知识脉络 1 ． 瞬时速度 (1) 瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． (2) 瞬时速度的计算：设物体运动的时间与位移的函数关系式为 y ＝ h ( t ) ， 则物体在 t 0 时刻的瞬时速度为 . (3) 瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看 ， 当时间间隔 | Δ t | 无限趋近于 0 时 ， 平均速度 就无限趋近于 t ＝ t 0 时的瞬时速度． 2 ． 抛物线的割线、切线的斜率 (1) 切线：设 P 0 是曲线上一定点 ， P 是曲线上的动点 ， 当点 P 无限趋近于点 P 0 时 ， 割线 P 0 P 无限趋 近于一个确定的位置，这个确定位置的直线 P 0 T 称为曲线在点 P 0 处的切线． (2) 切线的斜率：设 P 0 ( x 0 ， y 0 ) 是曲线 y ＝ f ( x ) 上一点 ， 则曲线 y ＝ f ( x ) 在点 P 0 ( x 0 ， y 0 ) 处的切线的斜率为 k 0 ＝ . (3) 切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看 ， 当横坐标间隔 | Δ x | 无限变小时 ， 点 P 无限趋近于点 P 0 ， 于是割线 PP 0 无限趋近于点 P 0 处的切线 P 0 T ， 这时 ， 割线 PP 0 的斜率 k 无限趋近于点 P 0 处的切线 P 0 T 的斜率 k 0 . 判断正误 ( 正确的打 “√” ， 错误的打 “×” ) (1) 函数 y ＝ f ( x ) 在 x ＝ x 0 处的导数值与 Δ x 值的正、负无关． ( 　　 ) (2) 瞬时变化率是刻画某函数值在区间 [ x 1 ， x 2 ] 上变化快慢的物理量． ( 　　 ) (3) 在吹气球的过程中 ， 随着气球内空气容量的增加 ， 气球的半径增加得越来 越慢． ( 　　 ) (4) 函数 y ＝ f ( x ) 在某 x ＝ x 0 的切线斜率可写成 k ＝ . ( 　　 ) 解析　 (1) 正确 ， 由导数的定义知 ， 函数在 x ＝ x 0 处的导数只与 x 0 有关 ， 故正确． (2) 错误 ， 瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量 ， 故错误． (3) 正确 ， 随着气球内空气容量的增加 ， 气球半径 增加的速度越来越慢． (4) 正确． 答案　 (1) √ 　 (2) × 　 (3) √ 　 (4) √ 对 Δ x ， Δ y 的理解 (1) Δ x ， Δ y 是一个整体符号 ， 而不是 Δ 与 x ， y 相乘． (2) x 1 ， x 2 是定义域内不同的两点 ， 因此 Δ x ≠ 0 ， 但 Δ x 可正也可负； Δ y ＝ f ( x 2 ) － f ( x 1 ) 是 Δ x ＝ x 2 － x 1 相应的改变量 ， Δ y 的值可正可负 ， 也可为零 ， 因此平均变化率可 正、可负、也可为零． 类型一 求物体运动的平均速度 数学匀速 【例 1 】　某物体运动的位移 s 与时间 t 之间的函数关系式为 s ( t ) ＝ sin t ， t ∈ . (1) 分别求 s ( t ) 在区间 和 上的平均速度； (2) 比较 (1) 中 两个平均速度的大小，说明其几何意义． 解 　 (1) 物体在区间 上的平均速度为 1 ＝ ＝ ＝ ＝ . 物体在区间 上的平均速度为 2 ＝ ＝ ＝ . (2) 由 (1) 可知 1 > 2 ＝ >0 ， 所以 2 < 1 . 作出函数 s ( t ) ＝ sin t 在 上的图象 ， 如图所示 ， 可以发现 ， s ( t ) ＝ sin t 在 上随着 t 的增大 ， 函数值 s ( t ) 变化得越来越慢． 类型二 求瞬时速度 数学运算、逻辑推理 【例 2 】　 某物体的运动 位移 s ( 单位： m ) 与时间 t ( 单位： s ) 的关系可用函数 s ( t ) ＝ t 2 ＋ t ＋ 1 表示 ， 求物体在 t ＝ 1 s 时的瞬时速度． 解　 ∵ ＝ ＝ ＝ 3 ＋ Δ t ， ∴ ＝ (3 ＋ Δ t ) ＝ 3. ∴ 物体在 t ＝ 1 处的瞬时变化率为 3. 即物体在 t ＝ 1 s 时的瞬时速度为 3 m/s. 【母题探究 1 】 　 ( 变结论 ) 在本例条件不变的前提下 ， 试求物体的初速度． 解　 求物体的初速度 ， 即求物体在 t ＝ 0 时 的瞬时速度． ∵ ＝ ＝ ＝ 1 ＋ Δ t ， ∴ (1 ＋ Δ t ) ＝ 1. ∴ 物体在 t ＝ 0 时的瞬时变化率为 1 ， 即物体的初速度为 1 m/s. 【母题探究 2 】　 在本例条件不变的前提下 ， 试问物体在哪一时刻的瞬时速度为 13 m/s . 解　 设物体在 t 0 时刻的瞬时速度为 13 m/s. 又 ＝ ＝ (2 t 0 ＋ 1) ＋ Δ t . ＝ (2 t 0 ＋ 1 ＋ Δ t ) ＝ 2 t 0 ＋ 1. 则 2 t 0 ＋ 1 ＝ 13 ， ∴ t 0 ＝ 6. 则物体在 6 s 时的瞬时速度为 13 m/s. 类型三 抛物线的切线的斜率 数学运算 【例 3 】　 求抛物线 f ( x ) ＝ x 2 － 2 x ＋ 3 在点 (1 ， 2 ) 处的切线方程． 解 　由 ＝ ＝ Δ x ， 可得切线的斜率为 k ＝ Δ x ＝ 0. 所以切线的方程为 y － 2 ＝ 0 × ( x － 1) ， 即 y ＝ 2. 【母题探究】 　本例函数不变 ， 求与 2 x － y ＋ 4 ＝ 0 平行的该曲线的切线方程． 解 　设切点 ( x 0 ， x 0 2 － 2 x 0 ＋ 3) ， 故 ＝ ＝ 2 x 0 － 2 ＋ Δ x ， 所以 k ＝ (2 x 0 － 2 ＋ Δ x ) ＝ 2 x 0 － 2 ， 故有 2 x 0 － 2 ＝ 2 ， 解得 x 0 ＝ 2 ， 所以切点为 (2 ， 3 ) ， 所求切线方程为 2 x － y － 1 ＝ 0. 规律方法 （ 1 ）求抛物线在某点处的切线方程的步骤 — — — (2) 求曲线过某点的切线方程需注意 ， 该点不 一定是切点 ，需另设切点坐标． 求抛物线 f