2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册 棱柱棱锥棱台的表面积和体积 作业

同步练习 24 　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 必备知 识基础练 一、选择题 ( 每小题 5 分，共 45 分 ) 1 ．若一个正方体的体对角线长为 a ，则这个正方体的全面积为 ( 　　 ) A ． 2 a 2 B ． 2 a 2 C ． 2 a 2 D ． 3 a 2 2 ．正四棱锥的底面边长和高都等于 2 ，则该四棱锥的体积为 ( 　　 ) A ． B ． C ． D ． 8 3 ． [2023· 陕西渭南高一期末 ] 棱长都是 1 的三棱锥的表面积为 ( 　　 ) A ． B ． 2 C ． 3 D ． 4 4 ．若正三棱锥的底面边长等于 a ，三条侧棱两两垂直，则它的侧面积为 ( 　　 ) A ． a 2 B ． a 2 C ． a 2 D ． 3 a 2 5 ．如图所示，在正方体 ABCD ­ A 1 B 1 C 1 D 1 中，四棱锥 S ­ ABCD 的体积占正方体体积的 ( 　　 ) A ． B ． C ． D ．不确定 6 ． [2023· 安徽池州高 一期中 ] 将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为 ( 　　 ) A ． 1∶2 B ． 1∶3 C ． 1∶4 D ． 1∶5 7 ． [2023· 河南开封高一期中 ] 已知斜三棱柱的一个侧面的面积为 10 ，该侧面与其相对侧棱的距离为 3 ，则此斜三棱柱的体积为 ( 　　 ) A ． 30 B ． 15 C ． 10 D ． 60 8 ． ( 多选 )[2023· 湖北鄂州高一期末 ] 用平行于棱锥 底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为 1∶2 ，则关于上、下两部分空间图形的说法正确的是 ( 　　 ) A ．侧面积之比为 1∶2 B ．侧面积之比为 1∶8 C ．体积之比为 1∶27 D ．体积之比为 1∶26 9 ． ( 多选 )[2023· 河南开封高一期中 ] 已知正四棱台上、下底面边长分别为 2 ， 4 ，侧棱长为 2 ，则 ( 　　 ) A ．正四棱台的高为 2 B ．正四棱台的斜高为 C ．正四棱台的表面积为 20 ＋ 12 D ．正四棱台的体积为 二、填空题 ( 每小题 5 分，共 15 分 ) 10 ．长方体的表面积是 24 ，它过同一个顶点的三条棱长之和为 6 ，则它的体对角线长是 ________ ． 11 ． [2023· 河北石家庄高一期末 ] 已知正三棱锥 O ­ ABC 的底面边长为 4 ，高为 2 ，则此三棱锥的体积为 ________ ． 12 ． [2023· 山东聊城一中高一期中 ] 一个四棱锥的体积为 4 ，其底面 是边长为 2 的正方形，侧棱长都相等，则该四棱锥的侧面积为 ________ ． 三、解答题 ( 共 20 分 ) 13 ． (10 分 ) 用长为 6 cm ，宽为 3 cm 的矩形作成一个正三棱柱的侧面，求此正三棱柱的体积． 14 ． (10 分 ) 如图，在正四棱台 ABCD ­ A 1 B 1 C 1 D 1 中，上底面边长为 1 ，下底面边长为 3 ，侧棱长为 2. (1) 求此正四棱台的侧面积； (2) 求此正四棱台的体积． 关键能力提升练 15 ． (5 分 ) 如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 △ ADE ， △ BCF 均为正三角形， EF ∥ AB ， EF ＝ 2 ，则该多面体的体积为 ( 　 　 ) A ． B ． C ． D ． 16.(5 分 )[2023· 广东东莞高一期末 ] 若四面体各棱的长是 2 或 4 ，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能为 ________( 只需写出一个可能的值 ). 17 ． (10 分 )[2023· 山东泰安高一期中 ] 现需要设计一个仓库，由上下两部分组成，如图所示，上部分的形状是正四棱锥 P ­ A 1 B 1 C 1 D 1 ，下部分的形状是正四棱柱 ABCD ­ A 1 B 1 C 1 D 1 ，正四棱柱的高 O 1 O 是正四棱锥的高 PO 1 的 4 倍． (1) 若 AB ＝ 6 m ， PO 1 ＝ 2 m ，则仓库的容积 ( 含上下两部分 ) 是多少？ (2) 若上部分正四棱锥的侧棱长为 6 m ，当 PO 1 为多少时，下部分的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 同步练习 24 　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 必备知识基础练 1 ． 答案： A 解析：设正方体的棱长为 x ，则 x ＝ a ，即 x 2 ＝ a 2 ， 所以正方体的全面积为 6 x 2 ＝ 6 × a 2 ＝ 2 a 2 . 故选 A. 2 ．答案： C 解析：∵正四棱锥的底面边长和高都等于 2 ， ∴该四棱锥的体积 V ＝ Sh ＝ × 2 2 × 2 ＝ . 故选 C. 3 ．答案： A 解析：因为四个面是全等的正三角形， S 底面积 ＝ × 1 × 1 × ＝ ， 则表面积 S ＝ 4 × ＝ . 故选 A. 4 ．答案： A 解析：因为正三棱锥的底面边长等于 a ，三条侧棱两两垂直， 所以三棱锥的侧棱长为 a ， 则它的侧面积为 3 × × a × a ＝ a 2 . 故选 A. 5 ．答案： B 解析：令正方体棱长为 a ，则 V 正方体 ＝ a 3 ， V S ABCD ＝ × a × a 2 ＝ a 3 ，∴ V 四棱锥 S ABCD ＝ V 正方体． 故选 B. 6 ．答案： D 解析：设长方体同一顶点引出的三条棱长分别是 a 、 b 、 c ， 则截去的棱锥的体积 V 1 ＝ × × abc ＝ abc ， 原长方体的体积 V ＝ abc ，剩下的几何体的体积为 V 2 ＝ abc － abc ＝ abc ， ∴ V 1 ∶ V 2 ＝ 1 ∶ 5. 故选 D. 7 ．答案： B 解析： 如图，两个斜三棱柱组成一个四棱柱，以斜三棱柱的一个侧面为四棱柱的底面，面积为 S ＝ 10 ，高 h ＝ PH ＝ 3 ，四棱柱的体积 V ＝ 10 × 3 ＝ 30 ，则此斜三棱柱的体积为 V ＝ 15. 故选 B. 8 ．答案： BD 解析：依题意知，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与