一、实际问题的函数刻画【问题思考】1.做一做:“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点.用s1,s2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为乌龟和兔子行驶的时间,则与故事情节相吻合的是( )
解析:乌龟距离起点的距离始终在增加,符合一次函数的增长模型,兔子距离起点的距离先增加,再停止增加一段时间后又更快的增加,总之,乌龟与兔子行进的路程是一样的,乌龟用的时间少,兔子用的时间长,综合以上分析,选B.答案:B
2.填空:在现实世界里,事物之间存在着广泛的联系,当面对的实际问题中存在几个变量,并且它们之间具有依赖关系时,我们往往用函数对其进行刻画.函数刻画的方法可以使用图象,但常见的还是使用解析式.
二、用函数模型解决实际问题【问题思考】1.填空:数学模型是针对或参照某种事物的主要特征、主要关系,用形式化的数学语言,抽象概括地、简化近似地表述出来的一种数学结构.其中,函数模型是应用最广泛的数学模型之一.实际问题一旦被认定是函数关系,就可以通过研究这个函数的性质,使问题得到解决.2.解决实际问题的基本过程是什么?提示:(1)分析问题,(2)建立函数模型,(3)解决函数问题,(4)回到实际问题.
3.做一做:某物体一天内的温度T是时间t的函数,且满足T(t)=t3-3t+60,时间单位是h,温度单位为℃,t=0时表示中午12:00,则上午8:00时的温度为 ℃. 解析:由于t=0时表示中午12:00,则上午8:00时t=-4,代入函数T(t)=t3-3t+60中,可得T(-4)=8.答案:8
三、常见的函数模型【问题思考】1.常见的几种函数模型
2.做一做:某水果市场规定,批发苹果不少于100 kg时,批发价为每千克2.5元.小王携带现金3 000元到市场采购苹果,并以批发价买进,如果购买的苹果为x kg,小王付款后剩余现金y元,那么y与x之间的函数关系为 . 答案:y=3 000-2.5x(100≤x≤1 200)
【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)商场将某种商品按进货价提高40%,然后再按八折优惠销售,结果每件商品比进货价多赚了270元,那么这种商品的进货价是每件2 000元.( × )(2)某种产品每件80元,每天可售出30件,如果每件定价120元,那么每天可售出20件,如果售出件数是定价的一次函数,那么这个函数解析式为 .( √ )
(3)某种放射性元素的原子数y随时间x的变化规律是y=1 024e-5x,则该函数是增函数.( × )(4)已测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个函数模型,甲:y=x2+1,乙:y=3x-1.若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则选用甲作为函数模型较好.( √ )(5)有关平均增长率的实际问题一定是指数函数模型.( × )
探究一 利用已知函数模型解决实际问题(1)求p%的值.(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?(3)该森林今后最多还能砍伐多少年?
用函数模型解决实际问题的思想
【变式训练1】 我们知道:人们对声音有不同的感觉,这与声音的强度有关系.声音的强度用I(W/m2)表示,但在实际测量时,常用声音的强度水平LI表示,它们满足以下关系: (单位为分贝,LI≥0,其中I0=1×10-12 W/m2).回答以下问题:(1)树叶沙沙声的强度是1×10-12 W/m2,耳语的强度是1×10-10 W/m2,恬静的无线电广播的强度是1×10-8 W/m2,试分别求出它们的强度水平;(2)某一新建的小区规定:小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下,试求该小区内公共场所的声音强度I的范围.
探究二 分段函数模型【例2】 如图所示,等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2,BC=1,∠BAD=45°,直线MN⊥AD交AD于点M,交折线ABCD于点N,记AM=x,试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数,并写出函数的定义域和值域.
解:如图,过点B,C分别作AD的垂线,垂足分别为点H和G,
分段函数模型是日常生活中常见的函数模型.对于分段函数,一要注意规范书写格式;二要注意各段的定义域的表示方法,对于中间的各个分点,一般是“一边闭,一边开”,以保证在各分点的“不重不漏”.
【变式训练2】 某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元,该厂为鼓励销售订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购1个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元.(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为51元?(2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)的解析式.(3)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购1 000个,利润又是多少元?(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本)
(3)设销售商一次订购量为x个时,工厂获得的利润为L元,当x=500时,L=6 000;当x=1 000时,L=11 000.因此,当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是6 000元;如果订购1 000个,利润是11 000元.
探究三 函数模型的选择【例3】 在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( )分析:把各组数据代
2023-2024学年北师大版必修第一册 实际问题中的函数模型 (课件)
