2019年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标ⅱ）全解析版

2019 年全国统一高考数学试卷 （文科）（全国新课标Ⅱ） 一、选择题： 本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 ．已知集合 ， ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 2 ．设 ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 3 ．已知向量 ， ，则 　　 A ． B ． 2 C ． D ． 50 4 ．生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标．若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为 　　 A ． B ． C ． D ． 5 ．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 　　 A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲 D ．甲、丙、乙 6 ．设 为奇函数，且当 时， ，则当 时， 　　 A ． B ． C ． D ． 7 ．设 ， 为两个平面，则 的充要条件是 　　 A ． 内有无数条直线与 平行 B ． 内有两条相交直线与 平行 C ． ， 平行于同一条直线 D ． ， 垂直于同一平面 8 ．若 ， 是函数 两个相邻的极值点，则 　　 A ． 2 B ． C ． 1 D ． 9 ．若抛物线 的焦点是椭圆 的一个焦点，则 　　 A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 8 10 ．曲线 在点 处的切线方程为 　　 A ． B ． C ． D ． 11 ．已知 ， ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 12 ．设 为双曲线 的右焦点， 为坐标原点，以 为直径的圆与圆 交于 ， 两点，若 ，则 的离心率为 　　 A ． B ． C ． 2 D ． 二、填空题： 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 ．若变量 ， 满足约束条件 则 的最大值是 　　 ． 14 ．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97 ，有 20 个车次的正点率为 0.98 ，有 10 个车次的正点率为 0.99 ，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 　　 ． 15 ． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ，则 　　 ． 16 ．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 ．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1 ．则该半正多面体共有 　　 个面，其棱长为 　　 ． 三、解答题： 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 ～ 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17 ．（ 12 分）如图，长方体 的底面 是正方形，点 在棱 上， ． （ 1 ）证明： 平面 ； （ 2 ）若 ， ，求四棱锥 的体积． 18 ．（ 12 分）已知 的各项均为正数的等比数列， ， ． （ 1 ）求 的通项公式； （ 2 ）设 ，求数列 的前 项和． 19 ．（ 12 分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 的频数分布表． 的分组 ， ， ， ， ， 企业数 2 24 53 14 7 （ 1 ）分别估计这类企业中产值增长率不低于 的企业比例、产值负增长的企业比例； （ 2 ）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到 附： ． 20 ．（ 12 分）已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 为 上的点， 为坐标原点． （ 1 ）若 为等边三角形，求 的离心率； （ 2 ）如果存在点 ，使得 ，且△ 的面积等于 16 ，求 的值和 的取值范围． 21 ．（ 12 分）已知函数 ．证明： （ 1 ） 存在唯一的极值点； （ 2 ） 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． （二）选考题： 共 10 分。请考生在第 22 、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 [ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ] （ 10 分） 22 ．（ 10 分）在极坐标系中， 为极点，点 ， 在曲线 上，直线 过点 且与 垂直，垂足为 ． （ 1 ）当 时，求 及 的极坐标方程； （ 2 ）当 在 上运动且 在线段 上时，求 点轨迹的极坐标方程． [ 选修 4-5 ：不等式选讲 ] （ 10 分） 23 ．已知函数 ． （ 1 ）当 时，求不等式 的解集； （ 2 ）当 时， ，求 的取值范围． 2019 年全国统一高考数学试卷 （文科）（全国新课标Ⅱ） 参考答案与试题解析 一、选择题： 本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 ．已知集合 ， ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 【思路分析】 直接利用交集运算得答案． 【解析】： 由 ， ， 得 ． 故选： ． 【归纳与总结】 本题考查交集及其运算，是基础题． 2 ．设 ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 【思路分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 【解析】： ， ， 故