2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册 2.5.2　圆与圆的位置关系 学案

2 ． 5.2 　圆与圆的位置关系 学习目标 能根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系． 知识脉络 — 1 ．圆与圆的位置关系 两圆相交 有 两个 公共点 两圆相切 外切 和 内切 只有一个 公共点 两圆相离 外离 和 内含 没有 公共点 2. 圆与圆位置关系的判定 (1) 几何法：若两圆的半径分别为 r 1 ， r 2 ，两圆的圆心距为 d ，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d 与 r 1 、 r 2 的关系 d ＞ r 1 ＋ r 2 d ＝ r 1 ＋ r 2 | r 1 － r 2 | ＜ d ＜ r 1 ＋ r 2 d ＝ | r 1 － r 2 | 0 ≤ d ＜ | r 1 － r 2 | (2) 代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 思考：当两圆相交、外切、内切时，连心线有什么性质？ 提示　当两圆相交时连心线垂直平分公共弦 ， 当两圆外切时 ， 连心线垂直于过两圆公共点的公切线 ，当 两圆内切时 ，连心线垂直于两圆的公切线． 判断正误 (1) 若直线与圆有公共点，则直线与圆相交． ( 　　 ) (2) 若两圆没有公共点，则两圆一定外离． ( 　　 ) (3) 若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立． ( 　　 ) (4) 若两圆有公共点，则 | r 1 － r 2 | ≤ d ≤ r 1 ＋ r 2 .( 　　 ) 答案　 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) √ 两圆相交公共弦所在直线方程的求法 若两圆 C 1 ： x 2 ＋ y 2 ＋ D 1 x ＋ E 1 y ＋ F 1 ＝ 0 ； C 2 ： x 2 ＋ y 2 ＋ D 2 x ＋ E 2 y ＋ F 2 ＝ 0 相交时 ， 则公共弦所在的直线方程为： ( D 1 － D 2 ) x ＋ ( E 1 － E 2 ) y ＋ F 1 － F 2 ＝ 0. 类型一 圆与圆的位置关系的判定 数学运算、逻辑推理 【例 1 】　已知圆 C 1 ： x 2 ＋ y 2 － 2 ax － 2 y ＋ a 2 － 15 ＝ 0 ，圆 C 2 ： x 2 ＋ y 2 － 4 ax － 2 y ＋ 4 a 2 ＝ 0( a ＞ 0). 试求 a 为何值时，两圆 C 1 ， C 2 的位置关系为： (1) 相切； (2) 相交； (3) 外离； (4) 内含． 解　圆 C 1 ， C 2 的方程 ， 经配方后可得 C 1 ： ( x － a ) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 16 ， C 2 ： ( x － 2 a ) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 1 ， ∴ 圆心 C 1 ( a ， 1) ， C 2 (2 a ， 1) ， 半径 r 1 ＝ 4 ， r 2 ＝ 1. ∴ | C 1 C 2 | ＝ ＝ a . (1) 当 | C 1 C 2 | ＝ r 1 ＋ r 2 ＝ 5 ，即 a ＝ 5 时 ， 两圆外切； 当 | C 1 C 2 | ＝ r 1 － r 2 ＝ 3 ， 即 a ＝ 3 时 ， 两圆内切． (2) 当 3 ＜ | C 1 C 2 | ＜ 5 ， 即 3 ＜ a ＜ 5 时 ， 两圆相交． (3) 当 | C 1 C 2 | ＞ 5 ， 即 a ＞ 5 时 ， 两圆外离． (4) 当 | C 1 C 2 | ＜ 3 ， 即 a ＜ 3 时 ， 两圆内含． 类型二 圆与圆相切问题 数学运算、逻辑推理 【例 2 】　 (1) 圆 C 1 ： ( x － m ) 2 ＋ ( y ＋ 2) 2 ＝ 9 与圆 C 2 ： ( x ＋ 1) 2 ＋ ( y － m ) 2 ＝ 4 相外切，则 m 的值是 ________ ． (2) 已知圆 O 1 ： x 2 ＋ y 2 － 8 x － 8 y ＋ 48 ＝ 0 ，圆 O 2 过点 A (0 ，－ 4). 若圆 O 2 与圆 O 1 相切于点 B (2 ， 2 ) ，求圆 O 2 的方程． (1) 解析　 C 1 ( m ， － 2) ， r 1 ＝ 3 ， C 2 ( － 1 ， m ) ， r 2 ＝ 2 ， 由题意知 | C 1 C 2 | ＝ 5 ， ( m ＋ 1) 2 ＋ ( m ＋ 2) 2 ＝ 25 ， 解得 m ＝ 2 或 m ＝－ 5.] 答案　 2 或－ 5 (2) 解　 ∵ 圆 O 2 与圆 O 1 相切于点 B (2 ， 2 ) ， O 1 (4 ， 4 ) ， ∴ 圆 O 2 的圆心在直线 y ＝ x 上 ， 不妨设为 ( a ， a ) ， ∵ 圆 O 2 过 B (2 ， 2 ) ， ∴ a 2 ＋ ( a ＋ 4) 2 ＝ 2( a － 2 ) 2 ， ∴ a ＝ 0 ， ∴ 圆 O 2 的方程为 x 2 ＋ y 2 ＝ 16. 求半径为 4 ，与圆 ( x － 2) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 9 相切，且和直线 y ＝ 0 相切的圆的方程． 解　设所求圆的方程为 ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ 16 ， 由圆与直线 y ＝ 0 相切、半径为 4 ， 则圆心 C 的坐标为 C 1 ( a ， 4) 或 C 2 ( a ， － 4). 已知圆 ( x － 2) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 9 的圆心 A 的坐标为 (2 ， 1) ， 半径为 3. 由两圆相切 ， 则 | CA | ＝ 4 ＋ 3 ＝ 7 或 | CA | ＝ 4 － 3 ＝ 1. ① 当圆心为 C 1 ( a ， 4) 时 ， ( a － 2) 2 ＋ (4 － 1) 2 ＝ 7 2 或 ( a － 2) 2 ＋ (4 － 1) 2 ＝ 1 2 ( 无解 ) ， 故可得 a ＝ 2±2 ， 故所求圆的方程为 ( x － 2 － 2 ) 2 ＋ ( y － 4) 2 ＝ 16 或 ( x － 2 ＋ 2 ) 2 ＋ ( y － 4) 2 ＝ 16. ② 当圆心为 C 2 ( a ， － 4) 时 ， ( a － 2) 2 ＋ ( － 4 － 1) 2 ＝ 7 2 或 ( a － 2) 2 ＋ ( － 4 － 1) 2 ＝ 1 2 ( 无解 ) ， 解得 a ＝ 2±2 . 故所求圆的方程为 ( x － 2 － 2 ) 2 ＋ ( y ＋ 4) 2 ＝ 16 或 ( x － 2 ＋ 2 ) 2 ＋ ( y ＋ 4) 2 ＝ 16. 综上所述 ， 所求圆的方程为 ( x － 2 － 2 ) 2 ＋ ( y － 4) 2 ＝ 16 或 ( x － 2 ＋ 2 ) 2 ＋ ( y － 4) 2 ＝ 16 或 ( x － 2 － 2 ) 2 ＋ ( y ＋ 4) 2 ＝ 16 或 ( x － 2 ＋ 2 ) 2 ＋ ( y ＋ 4) 2 ＝ 16. 类型三 两圆相交问题 数学运算 【例 3 】　已知圆 C 1 ： x 2 ＋ y 2 ＋ 6 x － 4 ＝ 0 和圆 C 2 ： x 2 ＋ y 2 ＋ 6 y － 28 ＝ 0. (1) 求两圆公共弦所在直线的方程； (