知识梳理·自主探究知识探究问题1:(1)某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂x次以后,得到的细胞个数y与x之间的关系是什么?提示:(1)y=2x(x∈N+).(2)某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年剩余的这种物质是原来的84%,那么经过x年后剩余量y与x的关系是什么?提示:(2)y=0.84x.(3)你能从以上的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗?提示:(3)共同点:变量x与y构成的函数关系式是指数的形式,自变量在指数位置,底数是常数.不同点:底数的取值不同.
1.指数函数的概念根据指数幂的定义,当给定正数a,且a≠1时,对于任意的实数x,都有唯一确定的正数y=ax与之对应,因此, 是一个定义在实数集上的函数,称为指数函数.y=ax思考1:指数函数定义中为什么规定a>0,且a≠1?提示:①如果a=0,当x>0时,ax恒等于0,无研究的必要;当x≤0时,ax无意义.③如果a=1,则y=1x是一个常量,无研究的必要.为了避免上述各种情况,所以规定a>0,且a≠1.
思考2:由指数函数的定义看,函数y=ax(a>0,且a≠1)的值域是什么?提示:(0,+∞).思考3:指数函数与幂函数的解析式有什么区别?提示:指数函数是形如y=ax(a>0且a≠1)的函数,其自变量在指数位置上,而幂函数是形如y=xα的函数,其自变量在底数位置上.
描点并连线:
问题2:(2)结合图象你发现它们有什么特点和联系了吗?2.指数函数的图象与性质图像和性质a>10<a<1图象
性质定义域R值域 .过定点 ,即当x=0时,y= .单调性在R上是 .在R上是 .奇偶性非奇非偶函数对称性函数y=ax与y=a-x的图象关于 对称(0,+∞) (0,1) 1增函数减函数y轴
思考4:指数函数y=ax(a>0,且a≠1)图象的“升”与“降”,由什么决定?提示:底数a的大小.当a>1时,函数图象具有上升的趋势;当0<a<1时,图象具有下降的趋势.思考5:在平面直角坐标系中指数函数图象不能出现在第几象限?提示:指数函数图象只能出现在第一、二象限,不可能出现在第三、四象限.思考6:指数函数y=ax(a>0,且a≠1)中底数a对函数图象有什么影响?提示:设a>b>1>c>d>0,则y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象如图,从图中可以看出:在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小,在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小,即无论在y轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.
师生互动·合作探究探究点一指数函数的概念[例1] 下列函数中,是指数函数的是( )A.y=10x+1 B.y=10x+1C.y=x10 D.y=(10+a)x(a>-10,且a≠-9)解析:y=10x+1是由y=10x和y=10这两个函数相乘得到的函数,不是指数函数;y=10x+1是由y=10x和y=1这两个函数相加得到的函数,不是指数函数;由于10+a>0,且10+a≠1,即底数是符合要求的常数,故y=(10+a)x(a>-10,且a≠-9)是指数函数;y=x10的底数不是常数,故不是指数函数.故选D.
方法总结判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y=ax(a>0,且a≠1)这一结构形式,其具备的特点为
针对训练:若y=(a2-3a+3)ax是指数函数,则 ( )A.a=1或2 B.a=1C.a=2 D.a>0,且a≠1
探究点二指数(型)函数的图象角度1 根据指数(型)函数图象确定解析式中的参数[例2] 若函数y=ax-(b+1)(a>0,且a≠1)的图象经过第一、三、四象限,则必有( )A.0<a<1,b>0 B.0<a<1,b<0C.a>1,b<0 D.a>1,b>0解析:法一 由指数函数y=ax(a>1)图象的性质知函数y=ax(a>1)的图象过第一、二象限,且恒过点(0,1),而函数y=ax-(b+1)的图象是由y=ax的图象向下平移(b+1)个单位长度得到的,如图,若函数y=ax-(b+1)的图象过第一、三、四象限,则a>1且b+1>1,从而a>1且b>0.故选D.法二 由题意知,函数是增函数,则a>1,又x=0时,f(0)<0知b>0.故选D.
变式探究1:函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )A.a>1,b<0 B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0解析:法一 由于f(x)的图象单调递减,所以0<a<1,又0<f(0)<1,所以0<a-b<1=a0,即-b>0,b<0.故选D.法二 观察曲线的变化趋势可以得到函数f(x)为减函数,从而有0<a<1;从曲线的位置看,是由函数y=ax(0<a<1)的图象向左平移-b个单位长度得到,所以-b>0,即b<0.故选D.
变式探究2:若将本例中的函数解析式不变,改为函数图象不经过第二象限,则a,b满足的条件是 . 解析:函数图象不经过第二象限,则a>1且f(0)≤0,即1-(b+1)≤0,所以b≥0.答案:a>1,b≥0
方法总结识别指数(型)函数的图象问题的方法(1)根据图象的单调性,确定底数a>1或0<a<1.(2)利用图象变换,如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)的原则,确定图象的平移变换,从而确定指数函数的图象与两坐标轴的交点位置.
角度2 指数(型)函数图象过定点问题[例3] 函数y=ax-3+5(a>0,且a≠1)的图象过定点 . 解析:因为指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过定点(0,1),所以在函数y=ax-3+5中,令x-3=0,得x=3,此时y=1+5=6,即函数y=ax-3+5的图象过定点(3,6).答案:(3,6)
方法总结解决指数(型)函数图象过定点问题的思路指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过定点(0,1),据此可解决形如y=k·ax+c+b(k≠0,a>0,且a≠1)的函数图象过定点的问题,即令指数x+c=0,即x=-c,得y=k+b,函数图象过定点(-c,k+b).
针对训练:
2023-2024学年北师大版必修第一册 指数函数的图象和性质(课件)
