2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第一册 直线与圆的位置关系 课件

新知初探·课前预习 [教材要点]要点　直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断位置关系相交相切相离公共点个数____个____个____个判定方法d__rd__rd__rΔ__0Δ__0Δ__0210<＝>>＝< 状元随笔　“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”． [基础自测]1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)直线与圆最多有两个公共点．(　　)(2)如果一条直线被圆截得的弦长最长，则此直线过圆心．(　　)(3)若A，B是圆O外两点，则直线AB与圆O相离．(　　)(4)若C为圆O内一点，则过点C的直线与圆O相交．(　　)√√×√ 2．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)A．相交　　 B．相切C．相离 D．无法判断解析：圆心(0，0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1.∵d＝r，∴直线与圆相切．故选B. 答案：B 3．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝(　　)A．1 B．C． D．2 解析：直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0，0)，则|AB|＝2，故选D.答案：D 4．直线x＋2y＝0被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于________．解析：由已知圆心C(3，1)，半径r＝5.又圆心C到直线l的距离d＝＝，则弦长＝2＝4. 答案：4  题型探究·课堂解透 题型一　直线与圆位置关系的判断例1　已知圆的方程x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时：(1)直线与圆有两个交点；(2)直线与圆有一个交点；(3)直线与圆没有交点．  解析：圆x2＋y2＝2的圆心为O(0，0)，半径r＝，圆心O到直线y＝x＋b的距离d＝.(1)当d<r，即<，|b|<2，∴－2<b<2时，直线与圆有两个交点．(2)当d＝r，即＝，|b|＝2，∴当b＝±2时，直线与圆有一个交点．(3)当d>r，即>，|b|>2，∴当b>2或b<－2时，直线与圆没有交点．  方法归纳判断直线与圆位置关系的三种方法1．几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．2．代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．3．直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 跟踪训练1　(1)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则(　　)A．l与C相交 B．l与C相切C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能解析：将点P(3，0)的坐标代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P(3，0)在圆内．∴过点P的直线l必与圆C相交．故选A.答案：A　 (2)已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.若直线与圆相切，则m＝________；若直线与圆相离，则m的范围是________．答案：0或－　(－，0) 解析：已知圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2，1)，半径r＝2圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝.若直线与圆相切，则d＝＝r＝2解得m＝0或m＝－.若直线与圆相离，则d>2，即－<m<0  题型二　直线与圆相切问题例2　过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程． 解析：因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A在圆外，故切线有两条．①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0.设圆心为C，因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1，所以＝1，即|k＋4|＝，所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－.所以切线方程为－x－y＋－3＝0，即15x＋8y－36＝0.②若直线斜率不存在，圆心C(3，1)到直线x＝4的距离为1，这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4.综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.  方法归纳圆的切线的求法1．点在圆上时：求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程x＝x0或y＝y0.2．点在圆外时：(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就是切线方程．(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．特别注意：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．  跟踪训练2　(1)过点A(2，1)，作圆的(x－3)2＋(y－1)2＝1切线，则切线方程为________．解析：因为(2－3)2＋(1－1)2＝1，所以点A(2，1)在圆上，从而A是切点，又过圆心(3，1)与点A的直线斜率为0，故所求切线的方程为y＝1.答案：y＝1　 (2)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝__________，r＝________．答案：－2，  解析：方法一　由题意得，圆心C(0，m)到直线2x－y＋3＝0的距离d＝＝r，又r＝|AC|＝，所以＝，解得m＝－2，所以r＝.  方法二　根据题意画出图形，可知A(－2，－1)，C(0，m)，B(0，3)，则|AB|＝＝2，|AC|＝＝，|BC|＝|m－3|.∵直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A，∴∠BAC＝90°，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2.即20