激趣诱思知识点拨中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹,用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.在中国,剪纸具有广泛的群众基础,是各种民俗活动的重要组成部分.其传承延续的视觉形象和造型样式,蕴涵了丰富的历史文化信息,表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣,具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值.折叠剪纸是最常见的一种制作表现方法,它折法简明,制作简便,尤其适于表现结构对称的形体和对称的图式,这种对称给人一种美的享受.我们学习过的函数图象中,也有很多这样的对称现象,请你想一想哪些函数的图象是对称的,都有哪些对称方式?
激趣诱思知识点拨一、奇、偶函数的定义 注:当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称f(x)具有奇偶性.
激趣诱思知识点拨名师点析1.判断函数的奇偶性要“二看”(1)一看定义域.定义域A要关于原点对称,即对任意x∈A,-x∈A,定义域不关于原点对称时,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.如f(x)=x2,x∈R是偶函数,但f(x)=x2,x∈[-1,2]既不是奇函数,也不是偶函数.(2)二看等式.当f(x)的定义域关于原点对称时,要看f(x)与f(-x)的关系:①f(-x)=f(x)⇔f(x)是偶函数;②f(-x)=-f(x)⇔f(x)是奇函数;③f(-x)≠±f(x)⇔f(x)既不是奇函数,也不是偶函数;④f(-x)=±f(x)⇔f(x)既是奇函数又是偶函数.这样的函数只有一类,即f(x)=0,x∈D,且D关于原点对称.
激趣诱思知识点拨2.奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性设非零函数f(x),g(x)的定义域分别是F,G,若F=G,则有下列结论:注意:上述表格中不考虑f(x)±g(x)=0;f[g(x)]中,需x∈G,g(x)∈F.
激趣诱思知识点拨微判断判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)若f(x)的定义域关于原点对称,则f(x)是偶函数.( )(2)若f(x)是偶函数,则它的定义域关于原点对称.( )(3)若f(-2)=f(2),则f(x)(x∈R)是偶函数.( )(4)若f(x)(x∈R)是偶函数,则f(-2)=f(2).( )(5)若f(2)≠f(-2),则f(x)(x∈R)不是偶函数.( )(6)既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R).( )
激趣诱思知识点拨答案: (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)× 解析:只有f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)=f(x)时,f(x)才是偶函数,故(1)错误;f(x)的定义域关于原点对称是f(x)为偶函数的必要条件,故(2)正确;对任意x∈R,满足f(-x)=f(x),f(x)才是偶函数,仅凭两个特殊的函数值相等不足以判断函数的奇偶性,故(3)错误而(4)正确;为了说明f(x)不是偶函数,举一个反例即可,故(5)正确;f(x)=0,定义域为[-1,1],该函数既是奇函数又是偶函数,故(6)错误.
激趣诱思知识点拨微思考已知函数f(x)是奇函数,定义域为D,若0∈D,f(0)是否为定值?提示:∵f(x)为奇函数,∴对任意x∈D,f(-x)=-f(x),∴f(-0)=-f(0),即f(0)=0,为定值.
激趣诱思知识点拨二、函数奇偶性与单调性的关系1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同偶异”.2.偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取得最值时的自变量的值互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上取得的最值互为相反数,取得最值时的自变量的值也互为相反数.
激趣诱思知识点拨名师点析1.奇偶性与单调性都是函数的重要性质,单调性是函数的“局部”性质,是研究函数值在某一区间内的变化趋势;而奇偶性是函数的“整体”性质,是研究函数图象在整个定义域上的对称性.2.研究函数的奇偶性与单调性对了解函数非常重要,如果一个函数是奇函数或是偶函数,根据它的图象关于坐标原点对称或关于y轴对称的性质,只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分,由函数在其中一部分上的图象和性质,即可推断出它在整个定义域内的图象和性质.而研究该函数其中一部分图象的情况,就得研究其函数值的变化,这就是单调性,只有把这两种性质结合在一起才能更好地了解函数的特征.
激趣诱思知识点拨微练习若奇函数f(x)在[-6,-2]上是减函数,且最小值是1,则它在[2,6]上是( )A.增函数且最小值是-1B.增函数且最大值是-1C.减函数且最大值是-1D.减函数且最小值是-1答案:C 解析:∵奇函数f(x)在[-6,-2]上是减函数,且最小值是1,∴函数f(x)在[2,6]上是减函数且最大值是-1.
探究一探究二探究三素养形成当堂检测判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性: 分析利用奇函数、偶函数的定义判断函数的奇偶性时,先求出函数的定义域,看其是否关于原点对称,如果定义域关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.为了判断f(-x)与f(x)的关系,既可以从f(-x)开始化简整理,也可以考虑f(-x)+f(x)或f(-x)-f(x)是否等于0.当f(x)不等于0时也可考虑 与1或-1的关系,还可以考虑使用图象法.
探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故f(x)既不是奇函数又不是偶函数.(2)函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),∴f(x)是奇函数.函数的定义域为{-1,1},关于原点对称.又f(1)=f(-1)=0,故f(x)既是奇函数又是偶函数.(4)函数的定义域关于原点对称.(方法一)当x>
2023-2024学年北师大版必修第一册 函数的奇偶性 (课件)
