2023-2024学年高中数学人教版必修第二册 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 作业

7 ． 1.1 　数系的扩充和复数的概念 必备知识基础练 　 1 ．复数 z ＝ 1 － 2i 的虚部为 ( 　　 ) A ． 1B ． i C ．－ 2D ．－ 2i 2 ．已知 a ∈ R ，若 2 a ＋ 1 ＋ ( a － 1)i∈ R ，则 a ＝ ( 　　 ) A ．－ B ． C ．－ 1D ． 1 3 ．若复数 z ＝ ( m ＋ 2) ＋ ( m － 4)i 是虚数，则实数 m 取值的集合是 ( 　　 ) A ． { m | m >4}B ． { m | m <4} C ． { m | m ≠4}D ． { m | m ∈ R } 4 ．若 2 ＋ a i ＝ b － i ，其中 a ， b ∈ R ， i 是虚数单位，则复数 z ＝ a ＋ b i 的虚部为 ( 　　 ) A ．－ i 　　　 B ．－ 1C ． 2i 　　　 D ． 2 5 ．已知 x ， y ∈ R ， i 为虚数单位，且 ( y ＋ 2)i ＋ 2 y ＝－ x ，则 x ＋ y 的值为 ( 　　 ) A ． 1B ． 2 C ． 3D ． 4 6 ．已知复数 z 1 ＝ 1 ＋ 3i 的实部与复数 z 2 ＝－ 1 － a i 的虚部相等，则实数 a ＝ ( 　　 ) A ．－ 3B ． 3 C ．－ 1D ． 1 7 ．已知复数 a － 2 ＋ ( a ＋ 2)i 的实部为 0 ，其中 i 为虚数单位，则实数 a 的值是 ________ ． 8 ．已知 x 2 － y 2 ＋ 2 xy i ＝ 2i ，则实数 x ， y 的取值分别为 ________ ． 关键能力综合练 　 1 ． ( 多选 ) 下列说法中正确的有 ( 　　 ) A ．若 a ∈ R ，则 ( a ＋ 1)i 是纯虚数 B ．若 x 2 － 1 ＋ ( x 2 ＋ 3 x ＋ 2)i 是纯虚数，则实数 x ＝ ±1 C ．若 a ≤0 ，则 z ＝ a 2 － b 2 ＋ ( a ＋ | a |)i( a ， b ∈ R ) 为实数 D ．若 a ， b ∈ R ，且 a > b ，则 b i 2 > a i 2 2 ． ( 多选 ) 若 z 1 ＝－ 3 － 4i ， z 2 ＝ ( n 2 － 3 m － 1) ＋ ( n 2 － m － 6)i( m ， n ∈ R ) ，且 z 1 ＝ z 2 ，则 m ＋ n ＝ ( 　　 ) A ． 4B ．－ 4 C ． 2D ． 0 3 ． “ b ≠0” 是 “ 复数 a ＋ b i( a ， b ∈ R ) 为纯虚数 ” 的 ( 　　 ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4 ．若复数 z ＝ ( m 2 － 5 m ＋ 6) ＋ ( m 2 － 3 m )i 是纯虚数，则实数 m 的值为 ( 　　 ) A ． 2B ． 3C ． 2 或 3D ． 0 或 3 5 ．若 x 2 ＋ (1 － 2i) x ＋ (3 m － i)>0 ，求实数 m 的取值范围 ( 　　 ) A ． (1 ，＋ ∞) B ． ( ，＋ ∞) C ． ( － ∞ ， 2) D ． ( － ∞ ， ) 6 ．已知关于 x 的方程 ( x 2 ＋ mx ) ＋ 2 x i ＝－ 2 － 2i( m ∈ R ) 有实数根 n ，且 z ＝ m ＋ n i ，则复数 z ＝ ( 　　 ) A ． 3 ＋ iB ． 3 － i C ．－ 3 － iD ．－ 3 ＋ i 7 ．若复数 z ＝ ( m ＋ 2) ＋ ( m 2 － 9)i( m ∈ R ) 是正实数，则实数 m 的值为 ________ ． 8 ．已知复数 z ＝ a 2 ＋ (2 a ＋ 3)i( a ∈ R ) 的实部大于虚部，则 a 的取值范围为 ________ ． 9 ．分别求满足下列条件的实数 x ， y 的值． (1)2 x － 1 ＋ ( y ＋ 1)i ＝ x － y ＋ ( － x － y )i ； (2) ＋ ( x 2 － 2 x － 3)i ＝ 0. 10 ．已知复数 z ＝ m ( m － 1) ＋ ( m 2 ＋ 2 m － 3)i ，当 m 取何实数值时，复数 z 是： (1) 纯虚数； (2) z ＝ 2 ＋ 5i. 核心素养升级练 　 1 ．欧拉恒等式： e iπ ＋ 1 ＝ 0 被数学家们惊叹为 “ 上帝创造的等式 ” ．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数 e 、圆周率 π 、虚数单位 i 、自然数 1 和 0 完美地结合在一起，它是由欧拉公式： e i θ ＝ cos θ ＋ isin θ ( θ ∈ R ) 令 θ ＝ π 得到的．设复数 z ＝ e i ，则根据欧拉公式 z 的虚部为 ( 　　 ) A ． B ． C ． D ． 1 2 ．若 z ＝ lg ( m 2 － 2 m － 2) ＋ ( m 2 ＋ 3 m ＋ 2)i 是纯虚数，则实数 m ＝ ________ ． 3 ．已知关于 x 的实系数一元二次方程 x 2 － mx ＋ 1 ＝ 0 有两个虚根 α ， β . (1) 求 m 的取值范围； (2) 若 α ＝ ，求 m 的值及 β 3 ＋ β . 第七章　复数 7 ． 1 　复数的概念 7 ． 1.1 　数系的扩充和复数的概念 必备知识基础练 1 ． 答案： C 解析： 复数 z ＝ 1 － 2i 的虚部为－ 2 ，故选 C. 2 ． 答案： D 解析： 因为 2 a ＋ 1 ＋ ( a － 1)i∈ R ，所以 a － 1 ＝ 0 ，解得 a ＝ 1. 故选 D. 3 ． 答案： C 解析： 由复数 z ＝ ( m ＋ 2) ＋ ( m － 4)i 是虚数，所以 m － 4≠0 ，所以实数 m 取值的集合是 { m | m ≠4} ，故选 C. 4 ． 答案： D 解析： 因为 2 ＋ a i ＝ b － i ，故 b ＝ 2 ，故复数 z ＝ a ＋ b i 的虚部为 2. 故选 D. 5 ． 答案： B 解析： 因为 x ， y ∈ R ， ( y ＋ 2)i ＋ 2 y ＝－ x ，所以 ，得 ，所以 x ＋ y ＝ 4 － 2 ＝ 2. 故选 B. 6 ． 答案： C 解析： 复数 z 1 ＝ 1 ＋ 3i 的实部为 1 ， 复数 z 2 ＝－ 1 － a i 的虚部为－ a ，则－ a ＝ 1 ，解得 a ＝－ 1 ，所以实数 a 等于－ 1. 故选 C. 7 ． 答案： 2 解析： 依题意复数 a － 2 ＋ ( a ＋ 2)i 的实部为 0 ，故 a － 2 ＝ 0 ，解得 a ＝ 2. 8 ． 答案： 1 ， 1 或－ 1 ，－ 1 解析： 因为 x 2 － y 2 ＋ 2 xy i ＝ 2i ，所以 解得 或 关键能力综合练 1 ． 答案： CD 解析： 对于 A 中，当 a ＝－ 1 ，可得 ( a ＋ 1)i ＝ 0 不是纯虚数，故 A 错误；对于 B 中，当 x ＝－ 1 ，可得 x 2