1.3 向量的数乘
新知初探·课前预习题型探究·课堂解透
最新课程标准学科核心素养1.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及其运算规则，理解其几何意义．2．理解两个平面向量共线的含义．3．了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．1.掌握平面向量的数乘运算．(数学运算)2．理解共线向量的含义．(直观想象、逻辑推理)3．了解平面向量的线性运算性质的几何意义．(直观想象)
新知初探·课前预习
教材要点要点一 向量的实数倍1．向量的数乘的定义一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作________，称为a的________倍，它的长度|λa|＝________．当λ≠0且a≠0时，λa的方向当λ＝0或a＝0时，λa＝0a＝0或λa＝λ0＝0.求向量的实数倍的运算称为向量的数乘． λaλ|λ||a|同向反向
状元随笔 理解数乘向量应注意的问题(1)向量数乘的结果依然是向量，要从长度与方向加以理解．(2)实数与向量可以相乘，但是不能相加、减．如λ＋，λ－均没有意义．2．向量的数乘的几何意义向量的数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小．
要点二 共线向量1．当非零向量a，b方向相同或相反时，我们既称a，b________，也称a，b________，记作________．2．规定：零向量与所有的向量平行．3．两个向量平行⇔其中一个向量是另一个向量的实数倍．即a∥b⇔存在实数λ，使得b＝________或a＝________．共线平行a∥bλaλb
状元随笔 向量共线定理的理解注意点及主要应用(1)定理中≠0→，≠0→不能漏掉. 若＝＝0→，则实数λ可以是任意实数；若＝0→，≠0→，则不存在实数λ，使得＝λ.(2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使t ＋s ＝0→，则与共线；若两个非零向量与不共线，且t ＋s ＝0→，则必有t＝s＝0.
要点三 向量的夹角1．设a，b是两个非零向量，任选一点O，作＝a，＝b，则射线OA，OB所夹的最小非负角∠AOB称为向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．2．平面向量夹角的范围为[0，π].
状元随笔 (1)两个向量的夹角是唯一确定的，且〈〉＝〈〉．(2)当〈〉＝0时，方向相同；当〈〉＝π时，方向相反；当0<〈〉<π时，不共线．(3)当〈〉＝时，互相垂直，记作⊥.(4)0→与的夹角是任意大小，可以规定为0，也可以规定为等，因此，零向量与任一向量可以平行，也可以垂直．
要点四 单位向量1．长度等于1个单位长度的向量．2．对于任一非零向量a，都可得到与它方向相同的唯一单位向量e＝a. 状元随笔 单位向量只定义了大小，方向可以任意，方向不同的两个单位向量不相等．
要点五 数乘运算律一般地，设a，b是任意向量，x，y是任意实数，则如下运算律成立：(1)对实数加法的分配律：(x＋y)a＝xa＋ya.(2)对实数乘法的结合律：x(ya)＝(xy)a.(3)对向量加法的分配律：x(a＋b)＝xa＋xb.
基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)实数λ与向量a的积还是向量．( )(2)向量－8a(a≠0)的模是向量4a的模的2倍．( )(3)若b＝λa(a≠0)，则a与b方向相同或相反．( )(4)表示向量a方向上的单位向量．( ) √√×√
2．化简：＝( )A．2a－b B．2b－aC．b－a D．a－b 答案：B解析：原式＝[(a＋4b)－(4a－2b)]＝(－3a＋6b)＝2b－a，故选B.
3．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则3a－b＝( )A．4e2 B．4e1C．3e1＋6e2 D．8e2答案：D解析：3a－b＝3(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝3e1＋6e2－3e1＋2e2＝8e2.
4．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则与共线(平行)的向量有_____________________________． 解析：根据非零向量共线的定义，与方向相同和方向相反的向量有.
题型探究·课堂解透
题型 1 向量的线性运算例1 (1)化简：－2； 解析：原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.
(2)若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，则m＝________，n＝________．a＋b a－b 解析：把已知中的两个等式看成关于m，n的方程，联立得方程组解得
方法归纳向量线性运算的基本方法(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
跟踪训练1 (1)(2a＋8b)－(4a－2b)等于( )A．－3a－6b B．6b－3aC．2b－3a D．3a－2b 解析：原式＝a＋4b－4a＋2b＝6b－3a.答案：B
(2)化简：(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝________． 0解析：原式＝a－b－a－b＋a＋b＝a＋b＝0a＋0b＝0.
题型 2 用已知向量表示相关向量例2 如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD的中点分别为K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示.
解析：设＝x，则＝x，＝e1－x，＝＝＝e1－x.由＝，得x＋e1－x＝e2，解方程得x＝e2－e1，即＝e2－e1.由＝－＝e1－x，得＝x－e1＝－e1＝－e1＋e2.
方法归纳用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表
2023-2024学年湘教版高中数学必修第二册 1.3向量的数乘 课件
