2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册 3.3.2　第2课时 直线与抛物线的位置关系 学案

第 2 课时　直线与抛物线的位置关系 课程标准 掌握抛物线的几何性质及其应用． 学法解读 1 ．结合教材实例掌握直线和抛物线的位置关系的判定方法． ( 数学抽象 ) 2 ．能解决与弦长、中点相关的问题． ( 数学运算 ) 3 ．掌握直线与抛物线等相关的综合问题． ( 数学运算、逻辑推理 ) 知识点 1 　直线与抛物线的位置关系 直线 y ＝ kx ＋ b 与抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 的交点个数决定于关于 x 的方程组 解的个数，即二次方程 k 2 x 2 ＋ 2( kb － p ) x ＋ b 2 ＝ 0 解的个数．当 k ≠ 0 时，若 Δ>0 ，则直线与抛物线有 _ 两 __ 个不同的公共点；若 Δ ＝ 0 ，直线与抛物线有 _ 一 __ 个公共点；若 Δ<0 ，直线与抛物线 _ 没有 __ 公共点． 当 k ＝ 0 时，直线与抛物线的轴 _ 平行或重合 __ ，此时直线与抛物线有 _ 1 __ 个公共点． 做一做：若直线 y ＝ kx ＋ 2 与 y 2 ＝ x 只有一个公共点，则实数 k 的值为 0 或 　 . [ 解析 ] 　由 消去 x 得 ky 2 － y ＋ 2 ＝ 0 ，若 k ＝ 0 ，直线与抛物线只有一个交点，则 y ＝ 2 ，符合题意；若 k ≠ 0 ，则 Δ ＝ 1 － 8 k ＝ 0 ，所以 k ＝ . 综上， k ＝ 0 或 . 知识点 2 　抛物线的焦点弦 1 ．抛物线的通径 ( 过焦点且垂直于轴的弦 ) 长为 _ 2 p __. 2 ．抛物线的焦点弦 过抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 的焦点 F 的一条直线与它交于两点 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，则 ① y 1 y 2 ＝－ p 2 ， x 1 x 2 ＝ ； ② | AB | ＝ _ x 1 ＋ x 2 ＋ p __ ； ③ ＋ ＝ 　 . 做一做：过抛物线 y 2 ＝ 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 两点，若 x 1 ＋ x 2 ＝ 10 ，则弦 AB 的长度为 ( C ) A ． 16 　　　　 B ． 14 C ． 12 　　　　 D ． 10 [ 解析 ] 　抛物线 y 2 ＝ 4 x 的准线方程为 x ＝－ 1 ， 则 | AB | ＝ | AF | ＋ | BF | ＝ ( x 1 ＋ 1) ＋ ( x 2 ＋ 1) ＝ x 1 ＋ x 2 ＋ 2 ＝ 12 ，故选 C. 题型探究 题型一　直线与抛物线的位置关系 典例 1 已知直线 l ： y ＝ kx ＋ 1 ，抛物线 C ： y 2 ＝ 4 x ，当 k 为何值时， l 与 C ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点． [ 解析 ] 　联立 消去 y ， 得 k 2 x 2 ＋ (2 k － 4) x ＋ 1 ＝ 0.(*) 当 k ＝ 0 时， (*) 式只有一个解 x ＝ ， ∴ y ＝ 1 ， ∴ 直线 l 与 C 只有一个公共点 ，此时直线 l 平行于 x 轴． 当 k ≠ 0 时， (*) 式是一个一元二次方程， Δ ＝ (2 k － 4) 2 － 4 k 2 ＝ 16(1 － k ) ． ① 当 Δ>0 ，即 k <1 ，且 k ≠ 0 时， l 与 C 有两个公共点，此时直线 l 与 C 相交； ② 当 Δ ＝ 0 ，即 k ＝ 1 时， l 与 C 有一个公共点，此时直线 l 与 C 相切； ③ 当 Δ<0 ，即 k >1 时， l 与 C 没有公共点，此时直线 l 与 C 相离． 综上所述，当 k ＝ 1 或 0 时， l 与 C 有一个公共点； 当 k <1 ，且 k ≠ 0 时， l 与 C 有两个公共点； 当 k >1 时， l 与 C 没有公共点． [ 规律方法 ] 　直线与抛物线位置关系的判断方法 设直线 l ： y ＝ kx ＋ b ，抛物线： y 2 ＝ 2 px ( p >0) ，将直线方程与抛物线方程联立消元得： k 2 x 2 ＋ (2 kb － 2 p ) x ＋ b 2 ＝ 0. (1) 若 k 2 ＝ 0 ，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． (2) 若 k 2 ≠ 0 ，当 Δ>0 时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当 Δ ＝ 0 时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当 Δ<0 时，直线与抛物线相离，无公共点． 对点训练 ❶ 设抛物线 y 2 ＝ 8 x 的准线与 x 轴交于点 Q ，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是 ( C ) A. 　　　 B ． [ － 2,2] C ． [ － 1,1] D ． [ － 4,4] [ 解析 ] 　因为 y 2 ＝ 8 x ，所以 Q ( － 2,0)( Q 为准线与 x 轴的交点 ) ，设过 Q 点的直线 l 方程为 y ＝ k ( x ＋ 2) ．因为 l 与抛物线有公共点，所以方程组 有解，即 k 2 x 2 ＋ (4 k 2 － 8) x ＋ 4 k 2 ＝ 0 有解． 讨论 k ＝ 0 交点为 (0,0) ． 综上： Δ ≥ 0 得－ 1 ≤ k ≤ 1. 题型二　中点弦问题 典例 2 过点 Q (4,1) 作抛物线 y 2 ＝ 8 x 的弦 AB ，恰被点 Q 所平分，求 AB 所在直线的方程． [ 解析 ] 　方法一： ( 点差法 ) 设以 Q 为中点的弦 AB 的端点坐标为 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，则有 y ＝ 8 x 1 ， y ＝ 8 x 2 ， ∴ ( y 1 ＋ y 2 )( y 1 － y 2 ) ＝ 8( x 1 － x 2 ) ． 又 y 1 ＋ y 2 ＝ 2 ， ∴ y 1 － y 2 ＝ 4( x 1 － x 2 ) ， 即 ＝ 4 ， ∴ k AB ＝ 4. ∴ AB 所在直线的方程为 y － 1 ＝ 4( x － 4) ，即 4 x － y － 15 ＝ 0. 方法二： ( 传统法 ) 由题意知 AB 所在直线斜率存在，设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，弦 AB 所在直线的方程为 y ＝ k ( x － 4) ＋ 1. 联立 消去 x ，得 ky 2 － 8 y － 32 k ＋ 8 ＝ 0 ， 此方程的两根就是线段端点 A ， B 两点的纵坐标． 由根与系数的关系得 y 1 ＋ y 2 ＝ . 又 y 1 ＋ y 2 ＝ 2 ， ∴ k ＝ 4. ∴ AB 所在直线的方程为 4 x － y － 15