第二章 平面向量及其应用§5 从力做的功到向量的数量积
课时3 向量数量积的坐标表示
学习目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示.（逻辑推理） 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.（数学运算）
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1.若两个非零向量的夹角 <m></m> 满足 <m></m> ，则两个向量的夹角 <m></m> 一定是钝角吗？ [答案] 不一定，当 <m></m> 时，两个向量的夹角 <m></m> 可能是钝角，也可能是 <m></m> . 2.若 <m></m> ， <m></m> ，则公式 <m></m> 与 <m></m> 有什么关系？ [答案] <m></m> 与 <m></m> 都是用来求两个向量的数量积的公式，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导.
3. <m></m> 是否成立? [答案] <m></m> 一般情况下不会成立. 4.对于实数 <m></m> ， <m></m> 有意义吗？它可以转化为哪些运算？ [答案] <m></m> 有意义， <m></m> .
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）若 <m></m> ， <m></m> ，则 <m></m> .( ) ×（2）若两个非零向量的夹角 <m></m> 满足 <m></m> ，则两个向量的夹角 <m></m> 一定是锐角.( ) ×（3）两个非零向量 <m></m> ， <m></m> ，满足 <m></m> ，则向量 <m></m> 与 <m></m> 的夹角为 <m></m> .( ) ×（4）若向量 <m></m> ， <m></m> ，则 <m></m> .( ) ×
2.设 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，则 <m></m> 等于( ). A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> A[解析] 由题意得 <m></m> ， <m></m> ,所以 <m></m> .故选A. 3.已知向量 <m></m> ， <m></m> ，且 <m></m> ，则 <m></m> 等于( ). A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> B[解析] 由题意得 <m></m> ，解得 <m></m> ，再由 <m></m> ，可得 <m></m> .
4.已知向量 <m></m> ， <m></m> ，则 <m></m> 与 <m></m> 的夹角的大小为____. <m></m> [解析] <m></m> ，所以 <m></m> ，所以 <m></m> ，即 <m></m> 与 <m></m> 的夹角为 <m></m> .
探究1 平面向量数量积的坐标表示已知两个向量 <m></m> , <m></m> ,类比向量数乘的坐标表示,探究平面向量数量积的坐标表示. 问题1：若 <m></m> , <m></m> 是两个互相垂直且分别与 <m></m> 轴、 <m></m> 轴的正半轴同向的单位向量,则 <m></m> , <m></m> 如何用 <m></m> , <m></m> 表示？ [答案] <m></m> , <m></m> .
问题2：能否用 <m></m> , <m></m> 的坐标表示 <m></m> ？怎样表示？ [答案] 能, <m></m> <m></m> <m></m> . 问题3：向量垂直与向量的数量积的关系是什么？能用坐标表示向量垂直吗？[答案] <m></m> ,能.
新知生成 设向量 <m></m> , <m></m> , <m></m> 与 <m></m> 的夹角为 <m></m> . 数量积 <m></m> 向量垂直 <m></m> 数量积向量垂直
新知运用一、给出坐标求数量积例1 已知向量 <m></m> , <m></m> . （1）求 <m></m> ; （2）求 <m></m> ; （3）若 <m></m> ,求 <m></m> , <m></m> . 方法指导 根据坐标运算法则,结合数量积的运算律进行计算.
[解析] （1）（法一） <m></m> , <m></m> , <m></m> ， <m></m> .（法二） <m></m> <m></m> .（2） <m></m> , <m></m> , <m></m> .
（3） <m></m> <m></m> . <m></m> <m></m> . &1& 进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质,解题时通常有两种方法:一是先将各向量用坐标表示,再直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.
二、向量垂直的坐标表示例2 设 <m></m> , <m></m> , <m></m> . （1）当 <m></m> 时,用 <m></m> 和 <m></m> 表示 <m></m> ; （2）若 <m></m> ,求实数 <m></m> 的值. [解析] （1）当 <m></m> 时,设 <m></m> ,则 <m></m> 解得 <m></m> 即 <m></m> .（2）由题意得 <m></m> , <m></m> .因为 <m></m> ,所以 <m></m> ,即 <m></m> ,解得 <m></m> .
&2& 用向量数量积的坐标表示解决垂直问题是把垂直条件代数化，方法更简捷，运算更直接,体现了向量问题代数化的思想.
1.已知向量 <m></m> 与 <m></m> 同向, <m></m> , <m></m> ,求: （1）向量 <m></m> 的坐标; （2）若 <m></m> ,求 <m></m> . [解析] （1）由题意可设 <m></m> . <m></m> , <m></m> ,解得 <m></m> , <m></m> .（2） <m></m> , <m></m> .
2.已知在 <m></m> 中, <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> 为 <m></m> 边上的高,求点 <m></m> 的坐标. [解析] 设点 <m></m> 的坐标为 <m></m> ,则 <m></m> , <m></m> , <m></m> .∵点 <m></m> 在直线 <m></m> 上,即 <m></m> 与 <m></m> 共线,∴存在实数 <m></m> ,使 <m></m> ,即 <m></m> ，∴ <m></m> <m></m> ,即 <m></m> . ①又 <m></m> , <m></m> ,
即 <m></m> ， <m></m> ，化简得 <m></m> . ②由①②可得 <m></m> .故点 <m></m> 的坐标为 <m></m> .
探究2 平面向量的模、夹角问题1：若把表示向量 <m></m> 的有向线段的起点和终点的坐标
2023-2024学年北师大版高中数学必修第二册 向量数量积的坐标表示 课件
