数列（专项提高练习）
高三一轮数学复习
一．选择题（共
8
小题）
1
．已知
{
a
n
}
是公差不为
0
的等差数列，
a
1
＝
2
，若
a
1
，
a
3
，
a
7
成等比数列，则
a
2023
＝（ ）
A
．
2023
B
．
2024
C
．
4046
D
．
4048
2
．在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数，公式和定理，若正整数
m
，
n
只有
1
为公约数，则称
m
，
n
互质，对于正整数
n
，
φ
（
n
）是小于或等于
n
的正整数中与
n
互质的数的个数，函数
φ
（
n
）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：
φ
（
3
）＝
2
，
φ
（
7
）＝
6
，
φ
（
9
）＝
6
．记
S
n
为数列
{
φ
（
3
n
）
}
的前
n
项和，则
S
10
＝（ ）
A
．
B
．
3
9
﹣
1
C
．
D
．
3
10
﹣
1
3
．设数列
{
a
n
}
的前
n
项的和为
S
n
，若对任意的
n
∈
N
*
，都有
S
n
＜
a
n
+1
，则称数列
{
a
n
}
为
“
K
数列
”
．关于命题：
①
存在等差数列
{
a
n
}
，使得它是
“
K
数列
”
；
②
若
{
a
n
}
是首项为正数、公比为
q
的等比数列，则
q
∈
[2
，
+∞
）是
{
a
n
}
为
“
K
数列
”
的充要条件．下列判断正确的是（ ）
A
．
①
和
②
都为真命题
B
．
①
为真命题，
②
为假命题
C
．
①
为假命题，
②
为真命题
D
．
①
和
②
都为假命题
4
．已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
＝
1
，
，存在正偶数
n
使得（
a
n
﹣
λ
）（
a
n
+1
+
λ
）＞
0
，且对任意正奇数
n
有（
a
n
﹣
λ
）（
a
n
+1
+
λ
）＜
0
，则实数
λ
的取值范围是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
5
．数列
{
a
n
}
中，
，定义：使
a
1
•
a
2
•…•
a
k
为整数的数
k
（
k
∈
N
*
）叫做期盼数，则区间
[1
，
2023]
内的所有期盼数的和等于（ ）
A
．
2023
B
．
2024
C
．
2025
D
．
2026
6
．设
S
n
是一个无穷数列
{
a
n
}
的前
n
项和，若一个数列满足对任意的正整数
n
，不等式
恒成立，则称数列
{
a
n
}
为和谐数列，有下列
3
个命题：
①
若对任意的正整数
n
均有
a
n
＜
a
n
+1
，则
{
a
n
}
为和谐数列；
②
若等差数列
{
a
n
}
是和谐数列，则
S
n
一定存在最小值；
③
若
{
a
n
}
的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．
以上
3
个命题中真命题的个数有（ ）个．
A
．
0
B
．
1
C
．
2
D
．
3
7
．在等差数列
{
a
n
}
中，
a
3
+
a
7
＝
a
8
＝
16
，则
{
a
n
}
的公差
d
＝（ ）
A
．
B
．
3
C
．
D
．
4
8
．已知数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
1
，
a
n
﹣
a
n
+1
＝
a
n
+1
•
a
n
（
n
∈
N
*
），若
8
a
m
＝
1
，则正整数
m
的值为（ ）
A
．
8
B
．
9
C
．
10
D
．
11
二．多选题（共
4
小题）
（多选）
9
．若正整数
m
，
n
只有
1
为公约数，则称
m
，
n
互素，欧拉函数
φ
（
k
）（
k
∈
N
*
）的函数值等于所有不超过正整数
k
，且与
k
互素的正整数的个数，例如：
φ
（
2
）＝
1
，
φ
（
3
）＝
2
，
φ
（
6
）＝
2
，
φ
（
8
）＝
4
．下列说法正确的是（ ）
A
．
φ
（
4
）＝
φ
（
6
）
B
．数列
{
φ
（
n
）
}
为递增数列
C
．
φ
（
2
n
）＝
2
n
﹣
1
D
．数列
的前
n
项和为
S
n
，则
S
n
＜
4
（多选）
10
．等差数列
{
a
n
}
中，
S
n
为
{
a
n
}
的前
n
项和，则下列结论错误的是（ ）
A
．若
a
2
+
a
3
+
a
8
＝
15
，则
a
3
+
a
7
＝
10
B
．若
a
9
＝
6
，则
S
17
＝
204
C
．若
a
1
＞
0
，且
S
3
＝
S
8
，则
S
n
取得最大值时，
n
＝
6
或
n
＝
7
D
．
必为等差数列
（多选）
11
．
“
苏州码子
”
发源于苏州，作为一种民间的数字符号流行一时，被广泛应用于各种商业场合．
“
苏州码子
”0
～
9
的写法依次为
〇
、刂、川、
㐅
、
δ
、亠、
、
、攵．某铁路的里程碑所刻数代表距离始发车站的里程，如某处里程碑上刻着的
“
〇
”
代表距离始发车站的里程为
0
公里，刻着的
“
亠
〇
”
代表距离始发车站的里程为
60
公里．已知每隔
3
公里摆放一个里程碑，
A
点处里程碑上刻着
“
川攵
”
，
B
点处里程碑上刻着
“
㐅
”
，则（ ）
A
．从始发车站到
A
点的所有里程碑个数为
14
B
．从
A
点到
B
点的所有里程碑个数为
16
C
．从
A
点到
B
点的所有里程碑上所刻数之和为
987
D
．从
A
点到
B
点的所有里程碑上所刻数之和为
984
（多选）
12
．已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
a
1
＝
﹣
5
，
a
n
+1
＝
a
n
+3
，则下列说法正确的是（ ）
A
．
{
a
n
}
是递增数列
B
．数列
是递增数列
C
．数列
{
S
n
}
中的最小项为
S
3
D
．
S
m
、
S
2
m
、
成等差数列
三．填空题（共
5
小题）
13
．已知数列
{
a
n
}
满足：
＝
a
2
n
﹣
1
•
a
2
n
+1
，
2
a
2
n
+1
＝
a
2
n
+
a
2
n
+2
，若
a
2
＝
2
a
1
＝
2
，则数列
{
}
的前
5
项和为
．
14
．数列
{
a
n
}
满足
a
n
+
a
n
+1
＝
n
2
sin
（
），
n
∈
N
*
，则
a
1
+
a
40
＝
．
15
．已知数列
{
a
n
}
中，
．记
，则
{
a
n
}
的通项公式
a
n
＝
；
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
＝
数列（专项提高练习）高三一轮数学复习
