第一章 三角函数§4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
课时1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
学习目标 1.借助单位圆理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义.（数学抽象） 2.能用正弦函数、余弦函数的定义进行计算.（数学运算） 3.通过正弦、余弦定义的应用及同角的正弦、余弦函数值间的关系，提升数学运算素养.
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在初中，我们知道在 <m></m> 中，当 <m></m> 为直角时，我们把锐角 <m></m> 的对边与斜边的比叫作 <m></m> 的正弦，记作 <m></m> ；锐角 <m></m> 的邻边与斜边的比叫作 <m></m> 的余弦，记作 <m></m> ，即 <m></m> ， <m></m> .当把锐角放在平面直角坐标系中时，角的终边与单位圆交于一点，正弦函数对应于该点的纵坐标.当所求角是任意角时，能否通过单位圆及函数定义的形式引出正弦函数的定义呢？这就是本节要研究的内容.
阅读教材，结合上述情境回答下列问题：1.单位圆有什么特征？[答案] 单位圆是半径为1的圆.2.已知角 <m></m> 终边上一点与单位圆的交点为 <m></m> ，你能写出角 <m></m> 的正弦、余弦的比值吗? [答案] 能， <m></m> ， <m></m> . 3.设角 <m></m> 终边上除原点外的一点 <m></m> ,且 <m></m> ，此时角 <m></m> 的正弦、余弦的比值是什么? [答案] <m></m> ， <m></m> .
1.已知点 <m></m> 为角 <m></m> 的终边上一点，则 <m></m> 等于( ). A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> C[解析] 因为点 <m></m> 为角 <m></m> 的终边上一点， 所以 <m></m> ， <m></m> ，则 <m></m> .故选C.
2.已知点 <m></m> 是角 <m></m> 终边上一点，则 <m></m> ( ). A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> D[解析] 依题意点 <m></m> 的坐标为 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> .故选D. 3.已知角 <m></m> 的终边过点 <m></m> ，且 <m></m> ，则 <m></m> 的值为( ). A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> A[解析] 因为角 <m></m> 的终边过点 <m></m> ， 所以 <m></m> ，解得 <m></m> .
4.已知角 <m></m> 的终边与单位圆交于点 <m></m> ，则 <m></m> ( ). A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> C[解析] 在单位圆中， <m></m> ，解得 <m></m> ，故 <m></m> .
探究1 锐角的正弦函数、余弦函数的定义 在如图所示的平面直角坐标系中，使锐角 <m></m> 的顶点与原点 <m></m> 重合，始边与 <m></m> 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点 <m></m> ，作 <m></m> 轴于点 <m></m> ，设 <m></m> ， <m></m> .
问题1：你能说出角 <m></m> 的正弦、余弦的比值吗？ [答案] <m></m> ， <m></m> . 问题2：对确定的锐角 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 的值是否随 <m></m> 点在终边上的位置的改变而改变呢？ [答案] 不会.因为三角函数值是比值，其大小与点 <m></m> 在终边上的位置无关，只与角 <m></m> 的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关. 问题3：在问题1中，当取 <m></m> 时， <m></m> ， <m></m> 的值怎样表示？ [答案] <m></m> ， <m></m> .
新知生成 正、余弦函数的定义：如图所示，在平面直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的单位圆，对于锐角 <m></m> ，使角 <m></m> 的顶点与原点重合，始边与 <m></m> 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点 <m></m> ，点 <m></m> 的纵坐标 <m></m> 是该角的正弦函数值，记作 <m></m> ；点 <m></m> 的横坐标 <m></m> 是该角的余弦函数值，记作 <m></m> .
新知运用例1 已知锐角 <m></m> 的终边过点 <m></m> . （1）求 <m></m> ， <m></m> 的值； （2）求 <m></m> 的值； （3）求以角 <m></m> 为圆心角，半径为 <m></m> 的扇形的弧长.
[解析] （1）∵角 <m></m> 的终边过点 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . <m></m> ， <m></m> .（2）由（1）可得 <m></m> .（3）设扇形的弧长为 <m></m> ，半径为 <m></m> ，由（1）得 <m></m> ，由弧长公式得 <m></m> .
&1& 求锐角的三角函数值的方法：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点 <m></m> 的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦值.
在直角坐标系的单位圆中，已知 <m></m> . （1）求出角 <m></m> 的终边与单位圆的交点坐标； （2）求出角 <m></m> 的正弦、余弦值. [解析] （1）画出角 <m></m> 的图象如图所示. 在 <m></m> 中， <m></m> , <m></m> , <m></m> ，所以角 <m></m> 的终边与单位圆的交点坐标为 <m></m> .（2）由正弦函数、余弦函数的定义可得， <m></m> ， <m></m>
探究2 任意角的正弦函数、余弦函数 若角 <m></m> 是钝角，终边落在第二象限，使角 <m></m> 的顶点与原点 <m></m> 重合，始边与 <m></m> 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点 <m></m> ，作 <m></m> 轴于点 <m></m> ，设 <m></m> ， <m></m> . 问题1：此时角 <m></m> 的正弦、余弦分别等于什么？ [答案] <m></m> ， <m></m> .
问题2
2023-2024学年北师大版高中数学必修第二册 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 课件
