2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第一册 空间中直线平面的平行课件

第2课时　空间中直线、平面的平行 [课标解读]　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系． 新知初探·课前预习题型探究·课堂解透 新知初探·课前预习 教材要点要点　空间中平行关系的向量表示线线平行设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2⇔________⇔______________________线面平行设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔________⇔__________________面面平行设α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔________⇔________________________u1∥u2(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)u·n＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0n1∥n2(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) 基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量．(　　)(2)直线l的一个方向向量为a＝(－1，2，1)，平面α的一个法向量为n＝(－1，－1，1)，则l∥α.(　　)(3)两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直．(　　)√×√ 2．(多选)下列命题中正确的是(　　)A．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥βB．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1·n2＝0C．若n是平面α的法向量，且向量a与平面α共面，则a·n＝0D．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直答案：ACD解析：B不正确，C、D正确．B中若α∥β，则n1∥n2. 3．若直线l1，l2的方向向量分别为v1＝(1，2，3)，v2＝(－，－1，－)，则l1，l2的位置关系是(　　)A．垂直 B．重合C．平行 D．平行或重合 答案：D解析：因为v1＝(1，2，3)，v2＝，所以v1＝－2v2，即v1∥v2，所以l1∥l2或l1与l2重合．  4．已知直线l的方向向量a＝(－1，2，1)，平面α的法向量b＝(－2，－2，2)，则直线l与平面α的位置关系是(　　)A．l∥α B．l⊥αC．l⊂α D．以上选项都不对答案：D解析：a＝(－1，2，1)，b＝(－2，－2，2)，则a·b＝2－4＋2＝0，故a⊥b，故直线l与平面α的位置关系是l∥α或l⊂α. 5．已知两个不同的平面α，β的法向量分别是n1＝(1，2，2)和n2＝(3，6，6)，则平面α，β的位置关系是________．α∥β解析：∵n1＝＝(3，6，6)，∴n1＝n2，∴n1∥n2，∴α∥β.  题型探究·课堂解透 题型 1　利用空间向量证明线线平行例1　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，点P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS. 证明：方法一　以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.∴＝，∴∥，即PQ∥RS.方法二　＝＝，＝＋＝＋，∴＝，∴∥，即RS∥PQ.  方法归纳利用向量法证明线线平行的2种方法 巩固训练1　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形． 证明：以点D为坐标原点，分别以为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，E(0，0，)，C1(0，1，1)，F(1，1，)，∴＝＝＝(0，1，)，＝(0，1，)，∴＝＝，∥，又∵F∉AE，F∉EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，∴四边形AEC1F是平行四边形．  题型 2　利用空间向量证明线面平行例2　在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB. 证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a.连接AC，交BD于点G，连接EG，依题意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，P(0，0，a)，E.方法一　设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，又＝＝，则有即即令z＝1，则所以n＝(1，－1，1)，又＝(a，0，－a)，所以n·＝(1，－1，1)·(a，0，－a)＝a－a＝0.所以n⊥.又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.  方法二　因为四边形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故点G的坐标为，所以＝.又＝(a，0，－a)，所以＝2，这表明PA∥EG.而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.  方法三　假设存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，即(a，0，－a)＝λ＋μ，则有解得所以＝－，又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.  方法归纳利用空间向量证明线面平行的3种方法 巩固训练2　在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG. 证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE.又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直．以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，F(0，3，0)，D(0，2，2)，G(2，2，0)，∴＝(0，2，2)，＝(2，2，0)，＝(2，0，－2)．设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)，则即令y＝1，得z＝－1，x＝－1，则n＝(－1，1，－1)，∴·n＝－2＋0＋2＝0，即⊥n.∵AB⊄平面DEG，∴AB∥平面DEG.  题型 3　利用空间向量证明面面平行例3　已知正方体ABCD-A′B′C′D′，求证：平面AB′D′∥平面BDC