知识探究·素养培育探究点一[问题1] 事物都是运动变化着的,我们可以感受到它们的变化.早晨,太阳从东方冉冉升起;气温随时间在悄悄地改变;小树随着时间的变化不断长高;……在这些变化着的现象中,都存在着两个变量,当一个变量变化时,另一个变量也随之发生变化.(1)怎样用数学模型刻画两个变量之间的关系?(2)这样的模型具有怎样的特征?函数的概念
知识点1:函数的概念给定实数集R中的两个非空数集A和B,如果存在一个对应关系f,使对于集合A中的每一个数x,在集合B中都有 的数y和它对应,那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个 ,记作 ,x∈A.其中集合A称为函数的 ,x称为自变量,与x值对应的y值称为函数值,集合{f(x)|x∈A}称为函数的 .习惯上我们称y是x的函数.唯一确定函数y=f(x)定义域值域
[思考1-1] (1)有人认为“y=f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”,这种看法对吗?(2)f(x)与f(a)有何区别与联系?提示:(1)这种看法不对.符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示,应理解为x是自变量,它是关系所施加的对象;f是对应关系,它可以是一个或几个解析式,可以是图象、表格,也可以是文字描述;y是自变量的函数,当x允许取某一具体值时,相应的y值为与该自变量值对应的函数值.y=f(x)仅仅是函数符号,不表示“y等于f与x的乘积”.在研究函数时,除用符号f(x)外,还常用g(x),F(x),G(x)等来表示函数.(2)f(x)与f(a)的区别与联系:f(a)表示当x=a时,函数f(x)的值,是一个常量,而f(x)是自变量x的函数,一般情况下,它是一个变量,f(a)是f(x)的一个特殊值,如一次函数f(x)=3x+4,当x=8时,f(8)=3×8+4=28是一个常数.
[思考1-2] 如果两个函数的定义域和值域都相同,那么这两个函数是同一个函数吗?提示:不是,两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.
[例1] (1)设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图象:其中,能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(1)解析:①中,因为在集合M中当1<x≤2时,在N中无元素与之对应,所以①不是;②中,对于集合M中的任意一个数x,在N中都有唯一的数与之对应,所以②是;③中,x=0和x=2对应的元素y=3∉N,所以③不是;④中,当0<x≤2时,对于集合M中的任意一个数x,在N中都有两个元素与之对应,所以④不是.因此只有②是,故选B.
(2)解:①A中的元素0在B中没有对应的元素,故不是集合A到集合B的函数.②对于集合A中的任意一个整数x,按照对应关系f:x→y=x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应,故是集合A到集合B的函数.③集合A中的负整数没有平方根,在集合B中没有对应的元素,故不是集合A到集合B的函数.
变式训练1-1:如图,可表示函数y=f(x)的图象的是( )解析:根据函数的定义,对于定义域内的任意的一个自变量x,有唯一的函数值与之对应,故任作一条垂直于x轴的直线,与函数的图象最多有一个交点.故选D.
(2)由f(1)=f(2)=3,f(3)=4,知集合A中的每一个元素在对应法则f的作用下,在集合B中都有唯一的元素与之对应,故所给对应f是定义在集合A上的函数.
(3)A={1,2,3},B={4,5,6},对应法则如图所示.解:(3)集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素,且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应,故所给对应f不是定义在集合A上的函数.
方法总结(1)判断对应关系是否为函数的两个条件①A,B必须是非空实数集;②A中任意一个元素在B中有且仅有一个元素与之对应.对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系,“一对多”的不是函数关系.(2)判断函数相等的方法①先看定义域,若定义域不同,则不相等;②若定义域相同,再化简函数的解析式,看对应关系是否相同,若对应关系也相同,则是同一个函数.
探究点二[问题2-1] 在函数的概念中非空集合A一定是函数的定义域吗?集合A中的元素能有不与集合B中的元素对应的吗?提示:函数概念中的非空集合A一定是函数的定义域.集合A中的所有元素必须都要与集合B中的元素对应,即集合A中不能有剩余.函数的定义域[问题2-2] 已知函数的解析式,求其定义域时,能否对其先化简再求定义域?
解:(1)①4-x≥0,即x≤4,故函数的定义域为{x|x≤4}.②分母|x|-x≠0,即|x|≠x,所以x<0.故函数的定义域为{x|x<0}.
(2)将长为a的铁丝折成矩形,求矩形面积y关于一边长x的解析式,并写出此函数的定义域.
方法总结求函数的定义域(1)要明确使各函数解析式有意义的条件是什么,函数有意义的准则一般有:分式的分母不为0;偶次根式的被开方数非负;y=x0要求x≠0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合.(3)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示数集,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接.(4)实际问题中的定义域,不但受解析式限制,还受实际问题约束.
拓展探索素养培优求函数值或值域
试题情境:课程学习情境.必备知识:函数的概念,值域的求法.关键能力:运算求解能力.学科素养:数学抽象,数学运算.
解:(1)将x=1,2,3,4,5分别代入y=2x+1,计算得函数的值域为{3,5,7,9,11}.
(4)y=-x2-
2023-2024学年北师大版必修第一册 函数概念(课件)
